Quelle notation binaire correspond au chiffre hexadécimal a. A quoi sert le système de nombres hexadécimaux ?

Système de nombres hexadécimaux, est de loin le moyen le plus populaire de compacter des nombres binaires. Il est largement utilisé dans le développement et la conception de la technologie numérique.

Comme son nom l'indique, la base de ce système est le nombre seize. 16 ou en hexadécimal 10 16 . Pour éviter toute confusion, lors de l'écriture des nombres dans des systèmes de nombres autres que décimaux, nous indiquerons la base du système de nombres en bas à droite de l'enregistrement du nombre de base. Puisque la base du système est le nombre seize, cela signifie que nous avons besoin de seize chiffres pour représenter les nombres. Les dix premiers chiffres sont tirés du système décimal habituel (0,1, .., 8,9) et six lettres de l'alphabet latin (a, b, c, d, e, f) sont ajoutées. Par exemple, dans le nombre hexadécimal 3f7c2, les lettres "f" et "c" sont des chiffres hexadécimaux.

Le comptage hexadécimal est similaire au comptage décimal. Essayons de compter et d'écrire des nombres en les construisant à partir des seize chiffres disponibles :

Zéro - 0 ;
Une - 1 ;
Deux - 2 ;
...
etc…
...
Huit - 8 ;
Neuf - 9 ;
Dix - une;
Onze - b;
Douze - c;
Treize - ré;
Quatorze - e;
Quinze - F;

Que faire ensuite? Tous les numéros sont terminés. Comment représentez-vous le nombre Seize ? Procédons de la même manière que nous l'avons fait dans le système décimal. Là, nous avons introduit le concept de dix, ici nous allons introduire le concept de "seize" et dire que seize est un "seize" et zéro un. Et cela peut déjà être écrit - "10 16".

Donc, Seize - 10 16 (un "seize", zéro un)
Dix-sept - 11 16 (un "seize", une unité)
...
etc…
...
Vingt cinq - 19 16 (un "seize", neuf unités)
Vingt-six - 1a 16 (un "seize", dix unités)
Vingt sept - 1b 16 (un "seize", onze)
...
etc…
...
Trente - 1e 16 (un "seize", quatorze unités)
Trente et un - 1f 16 (un "seize", quinze unités)
Trente deux - 20 16 (deux "seize", zéro un)
Trente-trois - 21 16 (deux "seize", une unité)
...
etc…
...
Deux cent cinquante cinq - ff 16 (quinze à seize, quinze unités)

Deux cent cinquante six - 100 16 (un "Deux cent cinquante six", zéro à seize, zéro un)
Deux cent cinquante sept - 101 16 (un "Deux cent cinquante six", zéro à "seize", un un)
Deux cent cinquante huit - 102 16 (un "Deux cent cinquante six", zéro à "seize", deux uns)
...
etc...
...

Chaque fois que nous avons épuisé un ensemble de chiffres pour afficher le numéro suivant, nous entrons des unités de compte plus grandes (c'est-à-dire, comptez par "seize", "Deux cent cinquante six", etc.) ...

Considérez le nombre 3e2c 16 écrit en notation hexadécimale. On peut dire de lui qu'il contient : trois sur quatre mille quatre-vingt-seize, « e » (quatorze) sur deux cent cinquante-six, deux sur seize et « c » (douze) unités. Et vous pouvez obtenir sa valeur à travers les nombres qu'il contient comme suit.

3e2c 16 = 3 *4096+14 *256+2 *16+12 * 1, ici et en dessous le signe * (astérisque) signifie multiplication.

Mais la série des nombres 4096, 256, 16, 1 n'est rien de plus que les puissances entières du nombre seize (la base du système de nombres) et vous pouvez donc écrire :

3e2c 16 = 3 *16 3 +14 *16 2 +2 *16 1 +12 *16 0

De même pour une fraction hexadécimale (nombre fractionnaire) par exemple : 0.5a2 16 de lui on peut dire qu'il contient : cinq seizièmes, "a" (dix) deux cent cinquante-sixième et deux quatre mille quatre-vingt-seize. Et sa valeur peut être calculée comme suit :

0.5a2 16 = 5 *(1/16) + 10 *(1/256) + 2 *(1/4096)

Et voici une série de nombres 1/16 ; 1/256 et 1/4096 ne sont rien de plus que des puissances entières de seize et on peut aussi écrire :

0.5a2 16 = 5 *16 -1 + 10 *16 -2 + 2 *16 -3

Pour le nombre mixte 7b2.1f9, on peut écrire de la même manière :

7b2.1f9 = 7 *16 2 +11 *16 1 +2 *16 0 +1 *16 -1 +15 *16 -2 +9 *16 -3

Numérotons les chiffres de la partie entière d'un nombre hexadécimal, de droite à gauche, comme 0,1,2 ... n (la numérotation commence à partir de zéro !). Et les chiffres de la partie fractionnaire, de gauche à droite, comme -1, -2, -3 ... -m, alors la valeur d'un nombre hexadécimal peut être calculée par la formule :

N = dn 16 n + d n-1 16 n-1 +… + d 1 16 1 + d 0 16 0 + d -1 16 -1 + d -2 16 -2 +… + d - (m-1) 16 - (m-1) + d -m 16 -m

Où: m- le nombre de chiffres dans la partie entière du nombre moins un ;
m- le nombre de chiffres dans la partie fractionnaire du nombre
je- le numéro dans je-e année

Cette formule est appelée formule d'expansion hexadécimale, c'est-à-dire un nombre écrit en notation hexadécimale. Si dans cette formule nous remplaçons le nombre seize par un nombre arbitraire q, alors on obtient la formule de développement du nombre écrit dans q-th système de numérotation, c'est-à-dire avec la fondation q:

N = dnqn + d n-1 q n-1 +… + d 1 q 1 + d 0 q 0 + d -1 q -1 + d -2 q -2 +… + d - (m-1) q - (m-1) + d -mq -m

En utilisant cette formule, vous pouvez toujours calculer la valeur d'un nombre écrit dans n'importe quel système de numération positionnelle avec une base q.

Vous pouvez vous familiariser avec d'autres systèmes de numérotation sur notre site Web aux liens suivants.

Le système de nombres familier à une personne est décimal. Il est basé sur dix chiffres de 0 à 9. Le système hexadécimal se distingue par la présence des six premières lettres de l'alphabet latin pour l'enregistrement des nombres en plus des chiffres de base. C'est-à-dire qu'après que le nombre 9 soit suivi du caractère "A", qui correspond au nombre 10 pour le système décimal. En conséquence, F en hexadécimal est 16 en décimal. L'utilisation de seize caractères dans le système n'est pas un choix aléatoire.

L'unité d'information est un peu. Huit bits forment un octet. Il existe un concept comme un mot machine - c'est une unité de données qui est de deux, c'est-à-dire seize bits. Ainsi, à l'aide de seize symboles différents, vous pouvez décrire toute information qui sera la plus petite particule lors de l'échange de données. Avec eux, vous pouvez effectuer toutes les opérations arithmétiques, le résultat, respectivement, sera également obtenu dans le système hexadécimal.

Afin de distinguer que le nombre est écrit en système hexadécimal, écrivez après lui la lettre "h" ou l'indice "16".

Application

Utilisation la plus répandue système hexadécimal les chiffres sont des codes d'erreur de produits logiciels, par exemple, système opérateur... Les chiffres de ces codes sont standardisés. Ayant une table spéciale, vous pouvez toujours déterminer ce que signifie exactement telle ou telle erreur.

Dans les langages de bas niveau qui se rapprochent le plus possible des codes machine, le système hexadécimal est utilisé pour écrire des programmes. De nombreux programmeurs l'utilisent lorsqu'ils travaillent avec des langages de haut niveau, car les nombres de ce système, utilisant une table de correspondance spéciale, sont facilement traduits en un système binaire, sur lequel est basé le travail de toute la technologie numérique. Toute information sur l'ordinateur, qu'il s'agisse d'un fichier musical ou Document texte, après traduction, il est représenté par une séquence du code binaire d'origine, et il est plus pratique de le visualiser tel que représenté par les caractères du système hexadécimal.

De plus, l'une des utilisations des caractères hexadécimaux est la description des schémas de couleurs, c'est-à-dire que les trois composants R, G, B sont décrits d'une manière appropriée à ce système. Cette approche de l'écriture est appelée couleur hexadécimale.

La possibilité d'afficher le programme en code hexadécimal vous permet de le déboguer, d'apporter des modifications et les cybercriminels utilisent cette approche pour pirater des programmes.

0123456789ABCDEF. En prenant le nombre 16 comme base, on obtient le système de nombres hexadécimal. Ici, nous pouvons utiliser 10 chiffres du système décimal, en ajoutant 6 chiffres supplémentaires - les lettres de l'alphabet latin (A, B, C, D, E, F): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , A, B, C, D, E, F 10 11 12 13 14 15 Un total de 16 caractères différents composent l'alphabet du système numérique hexadécimal. Vous pouvez écrire n'importe quel nombre comprenant tous ces signes : A37, 1B45, F302, 1A3C5... - remarque : nous utilisons des signes de 0 à F. Pour le système de nombres hexadécimal q = 16. Teneur.

Diapositive 32 de la présentation "Histoire des systèmes de comptage et de numération"... La taille de l'archive avec la présentation est de 2292 Ko.

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Tous ceux qui communiquent avec un ordinateur ou un autre équipement numérique sont tombés sur des enregistrements mystérieux comme 10FEF, qui semblent aux non-initiés avec une sorte de chiffre. Que se cache-t-il derrière ces symboles ? Il s'avère que ce ne sont que des chiffres. Ceux qui utilisent l'hexadécimal

Systèmes de numérotation

Chaque écolière sait, ou du moins a entendu quelque part que tous les chiffres que nous utilisons habituellement forment ce nom qu'elle porte simplement parce qu'il n'y a que dix caractères différents (de 0 à 9). N'importe quel nombre dans notre système familier peut être écrit avec leur aide. Cependant, il s'avère qu'il n'est pas toujours pratique de l'utiliser. Par exemple, lors de l'échange d'informations entre appareils numériques, le moyen le plus simple est d'utiliser un système de numérotation dans lequel il n'y a que deux chiffres : "0" - pas de signal - ou "1" - il y a un signal (tension ou autre). C'est ce qu'on appelle le binaire. Cependant, afin de décrire les processus à l'intérieur de tels dispositifs avec son aide, il sera nécessaire d'effectuer des enregistrements trop longs et difficiles à comprendre. Par conséquent, le système de nombres hexadécimaux a été inventé.

Notion de système hexadécimal

Pourquoi un système contenant seize caractères différents est-il utilisé pour les appareils numériques ? Comme vous le savez, les informations dans les ordinateurs sont transmises sous forme d'octets, qui contiennent généralement 8 bits. Et l'unité de données - le mot machine - comprend 2 octets, soit 16 bits. Ainsi, à l'aide de seize symboles différents, vous pouvez décrire l'information qui est la plus petite particule de l'échange. Le système de numération hexadécimale comprend nos nombres habituels (bien sûr, de 0 à 9), ainsi que les premières lettres (A, B, C, D, E, F). C'est à l'aide de ces symboles qu'il est d'usage d'écrire n'importe quelle unité d'information. Toutes les opérations arithmétiques peuvent être effectuées avec eux. C'est-à-dire addition, soustraction, multiplication, division. Le résultat sera également un nombre hexadécimal.

Où est appliqué

Le système hexadécimal est utilisé pour écrire les codes d'erreur. Ils peuvent se produire lorsque divers produits logiciels sont en cours d'exécution. Par exemple, c'est ainsi que les erreurs du système d'exploitation sont codées. Chaque numéro est standard. Vous pouvez découvrir quel type d'erreur s'est produit pendant le travail en le déchiffrant à l'aide des instructions. De tels symboles sont également utilisés lors de l'écriture de programmes dans des langages de bas niveau tels que l'assembleur. Le système de nombres hexadécimaux est apprécié des programmeurs également parce que ses composants peuvent être très facilement traduits en binaire, qui sont "natifs" pour toutes les technologies numériques. À l'aide de tels symboles, ils décrivent également schémas de couleurs... De plus, absolument tous les fichiers sur l'ordinateur (textes et graphiques, et même de la musique ou de la vidéo) sont présentés après la diffusion sous la forme d'une séquence. La visualisation de l'original est plus pratique uniquement sous la forme de caractères hexadécimaux.

Bien sûr, n'importe quel nombre peut être écrit dans divers systèmes numériques. C'est décimal, binaire et hexadécimal. Pour traduire un mot de l'un d'eux à un autre, vous devez utiliser un service tel qu'un traducteur de système numérique, ou le faire vous-même en utilisant un certain algorithme.

Tableau 2.4. Système de codage hexadécimal

Système décimal	Système hexagonal	Système décimal	Système hexagonal
0	0 (0000)	10	Un (1010)
1	1(0001)	11	B (1011)
2	2 (0010)	12	C (1100)
3	3 (0011)	13	D (1101)
4	4 (0100)	14	E (1110)
5	5 (0101)	15	F (1111)
6	6 (0110)	16	10 (00010000)
7	7 (0111)	17	11 (00010001)
8	8 (1000)	18	12 (00010010)
9	9 (1001)	19	13 (00010011)

Pour convertir un nombre hexadécimal en décimal, il faut multiplier la valeur du chiffre le moins significatif (zéro) par un, la valeur du (premier) chiffre suivant par 16, le deuxième chiffre par 256 (16 2), etc. , puis ajoutez tous les produits. Par exemple, prenons le nombre A17F :

A17F = F * 16 0 + 7 * 16 1 + 1 * 16 2 + A * 16 3 = 15 * 1 + 7 * 16 + 1 * 256 + 10 * 4096 = 41343

Tableau 2.5. Système de codage à 8 chiffres

Système décimal	Système octal	Système décimal	Système octal
0	0 (000)	10	12 (001010)
1	1(001)	11	13 (001011)
2	2 (010)	12	14 (001100)
3	3 (011)	13	15 (001101)
4	4 (100)	14	16 (001110)
5	5 (101)	15	17 (001111)
6	6 (110)	16	20 (010000)
7	7 (111)	17	21 (010001)
8	10 (001000)	18	22 (010010)
9	11 (001001)	19	23 (010011)

Mais tout spécialiste des équipements numériques (développeur, opérateur, réparateur, programmeur, etc.) doit apprendre à manipuler les systèmes hexadécimaux et binaires aussi librement qu'avec le décimal ordinaire afin qu'aucun transfert de système à système ne soit nécessaire.

Le codage octal est beaucoup moins utilisé que le codage hexadécimal, qui est construit sur le même principe que l'hexadécimal, mais les chiffres binaires sont divisés en groupes de trois chiffres. Chaque groupe (chiffre de code) est alors désigné par un symbole. Chaque chiffre du code 8-aire peut prendre huit valeurs : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (Tableau 2.5).

En plus des codes considérés, il existe également la représentation dite binaire-décimale des nombres. Comme en code hexadécimal, en code binaire-décimal, chaque bit du code correspond à quatre chiffres binaires, cependant, chaque groupe de quatre chiffres binaires peut prendre non pas seize, mais seulement dix valeurs codées par les symboles 0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. C'est-à-dire qu'une décimale correspond à quatre uns binaires. En conséquence, il s'avère qu'écrire des nombres en code binaire-décimal n'est pas différent de l'écriture en code décimal ordinaire (tableau 2.6), mais en réalité il ne s'agit que d'un code binaire spécial, dont chaque chiffre ne peut prendre que deux valeurs : 0 et 1. BCD est parfois très pratique pour organiser des indicateurs numériques décimaux et des tableaux de bord.

Tableau 2.6. Système de codage BCD

Système décimal	Système décimal binaire	Système décimal	Système décimal binaire
0	0 (0000)	10	10 (00010000)
1	1(0001)	11	11 (00010001)
2	2 (0010)	12	12 (00010010)
3	3 (0011)	13	13 (00010011)
4	4 (0100)	14	14 (00010100)
5	5 (0101)	15	15 (00010101)
6	6 (0110)	16	16 (00010110)
7	7 (0111)	17	17 (00010111)
8	8 (1000)	18	18 (00011000)
9	9 (1001)	19	19 (00011001)

En code binaire, vous pouvez effectuer toutes les opérations arithmétiques sur les nombres : addition, soustraction, multiplication, division.

Considérons, par exemple, l'addition de deux nombres binaires de 4 bits. Ajoutons le nombre 0111 (décimal 7) et 1011 (décimal 11). L'addition de ces nombres n'est pas plus difficile que la décimale :

Lors de l'ajout de 0 et 0, nous obtenons 0, lors de l'ajout de 1 et 0, nous obtenons 1, lors de l'ajout de 1 et 1, nous obtenons 0 et passons au chiffre suivant 1. Le résultat est 10010 (décimal 18). L'ajout de deux nombres binaires à n bits peut donner un nombre à n bits ou (n + 1) bits.

La soustraction se fait de la même manière. Soit le nombre 0111 (7) soustrait du nombre 10010 (18). Nous écrivons les nombres alignés sur le chiffre le moins significatif et soustrayons de la même manière que dans le cas du système décimal :

En soustrayant 0 de 0 nous obtenons 0, en soustrayant 0 de 1 nous obtenons 1, en soustrayant 1 de 1 nous obtenons 0, en soustrayant 1 de 0 nous obtenons 1 et empruntons 1 dans le bit suivant. Le résultat est 1011 (décimal 11).

Lors de la soustraction, il est possible d'obtenir des nombres négatifs, vous devez donc utiliser représentation binaire nombres négatifs.

Pour la représentation simultanée des nombres binaires positifs et binaires négatifs, le soi-disant code supplémentaire ... Les nombres négatifs dans ce code sont exprimés sous la forme d'un nombre qui, lorsqu'il est ajouté à un nombre positif de même amplitude, donne zéro. Afin d'obtenir un nombre négatif, vous devez changer tous les bits du même nombre positif à l'opposé (0 par 1, 1 par 0) et ajouter 1. Par exemple, notez le nombre –5. Le nombre 5 en code binaire ressemble à 0101. Remplacez les bits par le contraire : 1010 et ajoutez un : 1011. On additionne le résultat avec le nombre d'origine : 1011 + 0101 = 0000 (on ignore le transfert au cinquième chiffre).

modulo 2 deux nombres binaires 0111 et 1011 :

D'autres opérations au niveau du bit sur les nombres binaires incluent la fonction ET et la fonction OU. La fonction ET donne un seul si les bits correspondants des deux nombres originaux contiennent les deux, sinon le résultat est -0. La fonction OU donne un lorsqu'au moins un des bits correspondants des nombres d'origine est 1, sinon le résultat est 0.