Opérations arithmétiques dans les systèmes numériques. Opérations arithmétiques dans divers systèmes numériques Opérations dans divers systèmes numériques

SYSTÈMES NUMÉRIQUES

Bref aperçu. Termes et concepts de base

Un système numérique est une manière de représenter n’importe quel nombre à l’aide d’un alphabet de symboles appelés chiffres.

Il existe de nombreux systèmes numériques qui peuvent être divisés en 2 types : non positionnel et positionnel.

Système non positionnel. Un exemple est le système de chiffres romains. Dans ce document, la signification de chaque symbole est constante, peu importe où se trouve le symbole dans le nombre.

I, IX, XXI, LXI, XLII – le symbole « I » dans tous les nombres donnés code le chiffre un.

Systèmes positionnels. Un exemple est le système arabe. Dans le système positionnel, la signification de chaque chiffre (symbole) dépend de l'endroit dans le nombre où ce chiffre (symbole) est écrit. Vérifions cela à l'aide d'un exemple du système décimal que nous avons adopté, en effectuant des transformations de nombres identiques.

5555=5000+500+50+5. Ainsi, le chiffre 5 représente 5000, 500, 50 et 5.

Le système décimal utilise 10 chiffres (symboles) pour écrire les nombres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Le nombre de chiffres (symboles) utilisés dans le système est appelé sa base, donc , dans notre système La base est 10, c'est pourquoi on l'appelle décimal. Faisons à nouveau la conversion décimale

5685=5*1000+6*100+8*10+5=5*10 3 +6*10 2 +8*10 1 +5*10 0

On voit que le nombre peut s'écrire en utilisant des termes dans lesquels la base du système est présente. Il est élevé à une puissance inférieure à l’ordre du chiffre du nombre de droite à gauche.

En plus du système décimal, il existe d’autres systèmes numériques. Par exemple, les chiffres à 12 chiffres ont été utilisés en Russie jusqu'en 1917. Les expressions « douzaine » et « douzaine du diable » sont encore conservées. Il est encore utilisé dans les monnaies de certains pays. Il y a 12 chiffres sur l'horloge. 12 mois par an, etc.

La possibilité d'utiliser différents systèmes numériques repose sur le fait que de nombreux symboles différents peuvent être écrits sur un support de stockage (papier, papyrus) et leur donner une signification spécifique.

Méthodes d'enregistrement des informations dans la technologie informatique

Sur les supports de stockage liés à équipement informatique, il n'existe actuellement pas de larges possibilités d'enregistrement d'informations. Pour enregistrer des informations en technologie informatique, deux états stables de différents appareils sont utilisés.

Sur une disquette ou un disque dur, que l'on peut imaginer constitué d'un ensemble d'aimants élémentaires, ces aimants peuvent être tournés avec le pôle nord ou sud vers le substrat. Un point sur un disque peut ou non réfléchir la lumière. Une carte faite de papier épais peut ou non avoir un trou à un certain endroit. Un circuit électrique peut conduire ou non le courant. La lumière peut être allumée ou non. Un de ces états peut se voir attribuer la valeur 1, le second 0. Ainsi, 0 ou 1 peuvent être écrits sur un élément de mémoire.

Cette quantité minimale d'informations pouvant être enregistrée sur de tels supports est appelée peu.

Historiquement, 8 supports de stockage étaient combinés dans une seule cellule mémoire et la quantité d'informations qui y était enregistrée était appelée octet. Ainsi 1 octet = 8 bits.
Dans un octet, vous pouvez écrire 2 8 = 256 combinaisons différentes de nombres binaires, c'est-à-dire des nombres composés de seulement deux chiffres 0 et 1 : 00000000, 00000001, 00000010, 00000011. . . 11111110, 11111111.

Si vous regardez plusieurs cellules mémoire, elles contiendront de nombreux zéros et uns. Les adresses des cellules mémoire sont également représentées en binaire. Pour permettre à une personne de travailler plus facilement avec ce type d'informations, nous avons décidé de les utiliser selon les règles du 2e système numérique. Les nombres de ce système peuvent être convertis en d'autres systèmes plus familiers et visuels pour les humains : 8 chiffres, 16 chiffres, 10 chiffres.

Tableau 1.1.2

Système décimal	Système binaire	Système octal	Système hexadécimal










			UN
			B
			C
			D
			E
			F

Le tableau 1.1.2 montre quels symboles sont utilisés comme nombres dans différents systèmes. Si le dernier caractère valide est utilisé, alors 0 est écrit dans le chiffre le moins significatif et 1 dans le chiffre le plus significatif.

Opérations arithmétiques dans les systèmes numériques

Les règles permettant d'effectuer des opérations arithmétiques dans le système de nombres décimaux sont également conservées pour d'autres systèmes de nombres positionnels.

Ajout

On additionne d'abord les unités, puis les dizaines, etc. jusqu'à ce que nous atteignions le rang le plus élevé. Dans le même temps, nous nous souvenons toujours que lorsque, lors de l'addition de nombres dans n'importe quel chiffre, on obtient une somme supérieure à la base, nous devons alors la reporter au chiffre suivant.

Par exemple 173, 261 8

16, 35 8

Octal s.s.

Il existe un nombre incommensurable d'autres systèmes que le système décimal, dont certains sont utilisés pour représenter et traiter des informations dans un ordinateur. Il existe deux types de systèmes numériques : positionnels et non positionnels.

Les systèmes non positionnels sont ceux dans lesquels chaque chiffre conserve sa signification quelle que soit sa position dans le nombre. Un exemple est le système de numérotation romaine, qui utilise des nombres tels que I, V, X, L, C, D, M, etc.

Positionnel sont des systèmes numériques dans lesquels la signification de chaque chiffre est dépend de son emplacement. Le système positionnel est caractérisé par la base de calcul, qui sera comprise comme un nombre £ qui montre combien d'unités d'un chiffre sont nécessaires pour obtenir une unité d'ordre supérieur.

Par exemple, vous pouvez écrire

À quoi correspondent les nombres dans le système numérique décimal

L'index ci-dessous indique la base numérique.

Pour convertir des nombres positifs d’un système numérique à un autre, deux règles sont connues :

Traduction des nombres du système , dans le système ;

Traduction des nombres du système , dans le système utiliser l'arithmétique du système ;

Considérons la première règle . Disons que le nombre est dans le système décimal doit être représenté en binaire . Pour ce faire, ce nombre est divisé par la base du système présenté dans le système , c'est à dire. à 2 h 10. Le reste de la division sera le chiffre le moins significatif du nombre binaire. La partie entière du résultat de la division est à nouveau divisée par 2. Répétez l'opération de division autant de fois que possible jusqu'à ce que le quotient soit inférieur à deux.

Exemple : convertir 89 10 en binaire en utilisant l'arithmétique décimale

89 10 → 1011001 2

La traduction inverse, selon la même règle, est la suivante :

Convertir 1011001 2 en nombre décimal en utilisant l'arithmétique du système de nombres binaires

Les nombres binaires 1000 et 1001 selon le tableau 2.1 sont respectivement égaux à 8 et 9. Donc 1011001 2 → 89 10

Parfois, il est plus pratique d'effectuer la traduction inverse en utilisant la règle générale pour représenter un nombre dans un système numérique.

Regardons la deuxième règle. Traduction des nombres du système , dans le système utiliser l'arithmétique du système . Pour effectuer un virement, vous avez besoin de chaque chiffre du numéro dans le système multiplier par la base du système numérique représenté dans le système numérique et au degré de la position de ce nombre. Ensuite, les produits résultants sont résumés.

Opérations arithmétiques et logiques

Opérations arithmétiques

Considérons l'arithmétique du système de nombres binaires, puisque c'est ce système qui est utilisé dans les ordinateurs modernes pour les raisons suivantes :

Il existe les éléments physiques les plus simples qui n'ont que deux états et qui peuvent être interprétés comme 0 et 1 ;

Le traitement arithmétique est très simple.

Les nombres octaux et hexadécimaux sont couramment utilisés pour remplacer la représentation longue et donc maladroite des nombres binaires.

Les opérations d'addition, de soustraction et de multiplication dans le système binaire sont :

Comme cela a été démontré précédemment, pour se contenter d'un seul additionneur, c'est-à-dire pour effectuer uniquement des opérations d'addition, l'opération de soustraction est remplacée par l'addition. Pour ce faire, le code d'un nombre négatif est formé comme complément des nombres 2, 10, 100, etc.

L'addition et la soustraction sont efficacement effectuées dans le système numérique d'origine. La méthode de conversion de chaque nombre au système à 10 décimales, d'y effectuer une opération, puis de le reconvertir est beaucoup plus longue et conduit souvent à des erreurs.

Lors de l'ajout de chiffres dans un système de numérotation positionnelle arbitraire avec une base R. dans chaque chiffre, l'addition des chiffres des termes et du chiffre transféré du chiffre de poids faible adjacent, le cas échéant, est effectuée. Il faut tenir compte du fait que si, lors de l'addition de nombres, le résultat est un nombre supérieur ou égal à R, alors nous le représentons sous la forme p*k + b, où kО N – nombre d'unités de report au chiffre suivant 0 ≤ b ≤ p - 1

Lors de l'ajout et de la soustraction de nombres binaires, il suffit de connaître les règles d'ajout de chiffres binaires (la table d'addition du système binaire) :

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10

+ 1101 2

1 +1 = 2 = 1

0 +0 + 1 = 1

1 + 1 = 2 = 1 *2 + 0 (« 1 » est déplacé vers le chiffre le plus significatif)

1 + 0 + 1 = 2 = 1 *2 + 0 (« 1 » est déplacé vers le chiffre le plus significatif)

5 +6 = 11 = 1 *8 + 3 (« 1 » est déplacé vers le chiffre le plus significatif)

4 +1 + 1 = 6

6 + 3 = 9 = 1 *8 + 1 (« 1 » est déplacé vers le chiffre le plus significatif)

7 + 0 + 1 = 8 = 1 *8 + 0 (« 1 » est déplacé vers le chiffre le plus significatif)

+E836 16

10 +6 = 16 = 1 *16 + 0 (« 1 » est déplacé vers le chiffre le plus significatif)

15 +3 + 1 = 19 = 1 *16 + 3 (« 1 » est déplacé vers le chiffre le plus significatif)

9 + 8 + 1 = 18 = 1 *16 + 2 (« 1 » est déplacé vers le chiffre le plus significatif)

0 + 14 + 1 = 15 = F

Lors de la soustraction de nombres V R. les nombres sont soustraits petit à petit. Si dans le chiffre en question il est nécessaire de soustraire un nombre plus grand d'un nombre plus petit, alors on en prend un dans le chiffre suivant (chiffre le plus élevé). L'unité occupée est R. unités de ce chiffre (de même, lorsque l'on occupe une unité dans le système numérique décimal, l'unité occupée est égale à 10.) Pour le système numérique binaire, l'unité occupée = 2 10 = 10 2, pour le système numérique octal l'unité occupé = 8 10 = 10 8, pour système hexadécimal unité de notation occupée = 16 10 = 10 16 .

Exemples : Les points dans les exemples de soustraction indiquent les rangs auxquels il a fallu emprunter.

2 – 1 = 1 (puisque 0< 1 пришлось занять из соседнего разряда)

Il restait 0 dans ce chiffre, nous avons donc dû le reprendre à partir du chiffre le plus élevé : 2 – 1 = 1

Il en reste 0 dans cette catégorie

8 + 5 – 6 = 7 (puisque 5< 6 пришлось занять из соседнего разряда)

8 + 0 – 4 = 4 (après l'emprunt, 0 est resté dans ce chiffre)

16 + 6 – 10 = 12 = C 16 (tiré d'une catégorie adjacente)

16 + 2 – 15 = 3 (Il en reste 2 dans ce rang, pris dans le rang adjacent)

16 + 7 – 9 = 14 = E16

Le D 16 reste dans cette catégorie

Parfois, lors de la soustraction, il est nécessaire d'occuper une unité sur plusieurs chiffres, car le ou plusieurs chiffres adjacents contiennent des zéros d'affilée. Dans ce cas, il faut garder à l'esprit que dans ces chiffres, à la place des zéros après avoir été occupés, se trouvera le « dernier chiffre » du système numérique dans lequel la fin du menu est écrite, c'est-à-dire le nombre 1 est pour le binaire, le nombre 7 est pour l'octal et le nombre F est pour l'hexadécimal.

· 1 1 2 · 7 7 8 · F F 16

1000 2 1000 8 1000 16

11 2 11 8 ANNONCE 16

101 2 767 8 F53 16

Commentaire. Lorsque vous effectuez des opérations arithmétiques avec des nombres appartenant à des systèmes numériques différents, il est nécessaire de convertir les nombres dans le même système et ensuite seulement d'effectuer l'action. Bien sûr, vous pouvez choisir le système décimal comme système de numérotation, cependant, dans le cas où les nombres comportent de nombreux chiffres, une telle traduction demandera beaucoup de travail. Par exemple, lors de la conversion du nombre 123456789ABCDEF 16 au système décimal, vous devrez calculer 16 en puissances jusqu'au quatorzième.

La multiplication dans le système de numérotation positionnelle est une opération assez complexe, il est donc plus fiable d'effectuer une multiplication dans le système à 10 chiffres avec transfert préliminaire et final vers le système d'origine. Cependant, multiplier par 2 peut être représenté comme une somme. Par exemple : 2*T, où T = 315 8

2 * 315 8 = 315 8

En multipliant par 7 10, 8 10, 9 10, vous pouvez utiliser la conversion vers le système décimal. Mais comme le nombre décimal 8 est égal au nombre octal 10 (8 10 = 10 8), alors la multiplication peut être remplacée par une multiplication par dix suivie d'une soustraction ou d'une addition.

1) 8 10 * 6271 8 = 10 8 * 6271 8 = 62710 8

2) 7 10 * 6271 8 = (8 10 – 1 10) * 6271 8 = (10 8 – 1 8) * 6271 8 =

3) 9 10 * 6271 8 = (8 10 + 1 10) * 6271 8 = (10 8 + 1 8) * 6271 8 =

Commentaire. Si le deuxième facteur est présenté en binaire ou en hexadécimal, il doit d'abord être converti en système numérique octal, par exemple : 7 10 * A3C5 16.

Convertissez d’abord A3C5 16 en octal en utilisant la méthode des tétrades et des triades, puis effectuez la multiplication.

А3С5 16 = 1010 0011 1100 0101 2 = 001 010 001 111 000 101 2 = 121705 8.

7 10 * 121705 8 = (8 10 – 1 10) * 121705 8 = (10 8 – 1 8) * 121705 8 =

121705 8

En multipliant par 15 10, 16 10, 17 10, vous pouvez utiliser le fait que le nombre décimal 16 est égal au nombre hexadécimal 10 (16 10 = 10 16). Dans ce cas, comme dans le précédent, la multiplication peut être remplacée par une multiplication par dix suivie d'une soustraction ou d'une addition.

1) 16 10 * A6D5 16 = 10 16 * A6D5 16 = A6D50 16

2) 15 10 * A6D5 16 = (16 10 – 1 10) * A6D5 16 = (10 16 – 1 16) * A6D5 16 =

3) 17 10 * A6D5 16 = (16 10 + 1 10) * A6D5 16 = (10 16 + 1 16) * A6D5 16 =

Commentaire. Si le deuxième facteur est présenté en binaire ou octal, il faut d'abord le convertir en hexadécimal, par exemple : 17 10 * 7154 8.

Convertissez d’abord 7154 8 en hexadécimal en utilisant la méthode des tétrades et des triades, puis effectuez la multiplication.

7154 8 = 111 001 101 100 2 = 1110 0110 1100 2 = E6C 16.

17 10 * E6C 16 = (16 10 + 1 10) * E6C 16 = (10 16 + 1 16) * E6C 16 =

Utilisé pour travailler avec des données codage, c'est à dire. exprimer des données d'un type en termes de données d'un autre type.

La technologie informatique possède également son propre système - cela s'appelle codage binaire et est basé sur la représentation des données comme une séquence de seulement deux caractères : 0 et 1. Ces caractères sont appelés chiffres binaires, En anglais - chiffre binaire ou, pour faire court, peu (bit).

Un bit peut exprimer deux concepts : 0 ou 1 (Oui ou non, noir ou blanc, vrai ou mensonge et ainsi de suite.). Si le nombre de bits est augmenté à deux, alors quatre concepts différents peuvent être exprimés :

Trois bits peuvent coder huit valeurs différentes : 000 001 010 011 100 101 110 111

En augmentant d'un le nombre de bits dans le système de codage binaire, on double le nombre de valeurs qui peuvent être exprimées dans ce système, c'est-à-dire que la formule générale ressemble à :

N=2 m , Où:

N- nombre de valeurs codées indépendantes ;

T- profondeur de bits du codage binaire adoptée dans ce système.

Étant donné qu'un bit est une si petite unité de mesure, en pratique, une unité plus grande est plus souvent utilisée - un octet, égal à huit bits.

Des unités de données dérivées plus grandes sont également utilisées :

Kilooctet (Ko) = 1024 octets = 2 10 octets ;

Mégaoctet (Mo) = 1 024 Ko = 2 20 octets ;

Gigaoctet (Go) = 1024 Mo = 2 à 30 octets.

DANS Dernièrement En raison de l'augmentation du volume de données traitées, des unités dérivées telles que :

Téraoctet (To) = 1 024 Go = 2 à 40 octets ;

Pétaoctet (PB) = 1 024 To = 2 à 50 octets ;

Exaoctet (Ebyte) = 1024 Po = 2 60 octets.

Encodage des informations textuelles est produit à l'aide de l'American Standard Code for Information Interchange ASCII, qui définit les codes de caractères de 0 à 127. Les normes nationales allouent 1 octet d'informations par caractère et incluent un tableau de codes ASCII, ainsi que des codes de l'alphabet national avec des nombres de 128 à 255. Il existe actuellement cinq codages cyrilliques différents : KOI-8, MS-DOS, Windows, Macintosh et ISO. A la fin des années 90, un nouveau standard international Unicode, qui alloue non pas un octet, mais deux octets pour chaque caractère, et donc, avec son aide, vous pouvez coder non seulement différents caractères.

Table d'encodage de base ASCII est donnée dans le tableau.

Code de couleurs images graphiques se fait à l'aide d'un raster, où chaque point est associé à son numéro de couleur. Dans le système de codage RVB, la couleur de chaque point est représentée par la somme du rouge (Red), du vert (Green) et du bleu (Blue). Dans le système de codage CMJN, la couleur de chaque point est représentée par la somme du cyan (Cyan), du magenta (Magenta), du jaune (Jaune) et de l'ajout de noir (Noir, K).

Codage de signal analogique

Historiquement, la première forme technologique de réception, de transmission et de stockage de données était la représentation analogique (continue) d'un signal audio, optique, électrique ou autre. Pour recevoir de tels signaux, l'ordinateur effectue d'abord une conversion analogique-numérique.

La conversion analogique-numérique consiste à mesurer Signal analogiqueà intervalles réguliers τ et coder le résultat de la mesure avec un mot binaire de n bits. Dans ce cas, on obtient une séquence de mots binaires de n bits, représentant un signal analogique avec une précision donnée.

La norme CD actuelle utilise ce qu'on appelle « un son 16 bits avec une fréquence de balayage de 44 kHz ». Pour la figure ci-dessus, traduite en langage normal, cela signifie que la « longueur de pas » (t) est égale à 1/44 000 s et la « hauteur de pas » (δ) est 1/65 536 du volume maximum du signal (depuis 2 16 = 65 536) . Dans ce cas, la plage de fréquences de lecture est de 0 à 22 kHz et la plage dynamique est de 96 décibels (ce qui est une caractéristique de qualité totalement inaccessible pour un enregistrement sonore magnétique ou mécanique).

Compression des données.

Le volume de données traitées et transmises augmente rapidement. Cela est dû à la mise en œuvre de processus de candidature de plus en plus complexes, à l'émergence de nouveaux services d'information et à l'utilisation de l'image et du son.

Compression des données- un processus qui réduit le volume des données. La compression vous permet de réduire considérablement la quantité de mémoire requise pour stocker les données et de réduire (à une taille acceptable) le temps nécessaire à leur transfert. La compression d'image est particulièrement efficace. La compression des données peut être effectuée à l'aide d'un logiciel, d'un matériel ou d'une combinaison de méthodes.

La compression des textes est associée à une mise en page plus compacte octets, caractères d'encodage. Cela utilise également un compteur de répétition d'espace. Quant au son et aux images, la quantité d'informations les représentant dépend du pas de quantification sélectionné et du nombre de bits de conversion analogique-numérique. En principe, les mêmes méthodes de compression sont utilisées ici que pour le traitement de texte. Si la compression de texte se produit sans perte d'informations, la compression audio et image entraîne presque toujours une certaine perte d'informations. La compression est largement utilisée dans l'archivage des données.

Notation– représentation d'un nombre par un ensemble spécifique de symboles. Les systèmes numériques sont :

1. Unique (système d’étiquette ou de bâton) ;

2. Non positionnel (romain);

3. Positionnel (décimal, binaire, octal, hexadécimal, etc.).

Positionnel est un système numérique dans lequel la valeur quantitative de chaque chiffre dépend de sa place (position) dans le nombre. La base Un système de numérotation positionnelle est un nombre entier qui peut être élevé à une puissance et qui est égal au nombre de chiffres du système.

Le système de numérotation binaire comprend un alphabet de deux chiffres : 0 et 1.

Le système de numérotation octale comprend un alphabet de 8 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7.

Le système de nombres décimaux comprend un alphabet de 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Le système de numérotation hexadécimal comprend un alphabet de 16 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.


			A B C D E F

En informatique, le codage est utilisé dans le système de nombres binaires, c'est-à-dire séquence de 0 et 1.

Pour convertir un entier d'un système numérique à un autre, vous devez exécuter l'algorithme suivant :

1. Exprimez la base du nouveau système numérique en utilisant les numéros du système numérique d'origine.

2. Divisez systématiquement le nombre donné par la base du nouveau système numérique jusqu'à ce que vous obteniez un quotient inférieur au diviseur.

3. Convertissez les soldes résultants vers le nouveau système numérique.

4. Faites un nombre à partir des restes dans nouveau système calcul à partir du dernier reste.

En général, dans un SS positionnel de base P, n'importe quel nombre X peut être représenté comme un polynôme de base P :

Х = а n Р n + a n-1 P n-1 + … + a 1 P 1 + a o P 0 + a -1 P -1 + a -2 P -2 + …+ a -m P -m ,

où les coefficients a i peuvent être l'un des P chiffres utilisés dans SS avec la base P.

La conversion des nombres de 10 SS en tout autre pour les parties entières et fractionnaires du nombre est effectuée diverses méthodes:

a) la partie entière du nombre et les quotients intermédiaires sont divisés par la base du nouveau SS, exprimé en 10 SS jusqu'à ce que le quotient de la division devienne inférieur à la base du nouveau SS. Les actions sont effectuées en 10 SS. Le résultat est les quotients, écrits dans l’ordre inverse.

b) la partie fractionnaire du nombre et les parties fractionnaires résultantes des produits intermédiaires sont multipliées par la base du nouveau SS jusqu'à ce que la précision spécifiée soit atteinte, ou que « 0 » soit obtenu dans la partie fractionnaire du produit intermédiaire. Il en résulte des parties entières d’œuvres intermédiaires, enregistrées dans l’ordre de leur réception.

À l'aide de la formule (1), vous pouvez convertir des nombres de n'importe quel système numérique en système numérique décimal.

Exemple 1. Convertissez le nombre 1011101.001 du système de nombres binaires (SS) en SS décimal. Solution:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Exemple 2. Convertissez le nombre 1011101.001 du système de nombres octal (SS) en SS décimal. Solution:

Exemple 3. Convertissez le nombre AB572.CDF du système numérique hexadécimal en SS décimal. Solution:

Ici UN-remplacé par 10, B- à 11 heures, C- à 12, F- à 15 heures.

Conversion d'un nombre 8 (16) en forme 2 - il suffit de remplacer chaque chiffre de ce nombre par le nombre binaire 3 bits (4 bits) correspondant. Supprimez les zéros inutiles dans les chiffres hauts et bas.

Exemple 1 : convertir le nombre 305.4 8 en SS binaire.

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

Exemple 2 : convertir le nombre 9AF,7 16 en binaire СС.

(_9 __ _UN __ _F __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

Pour convertir le 2ème nombre en 8 (16) SS procédez comme suit : en vous déplaçant du point décimal vers la gauche et la droite, divisez le nombre binaire en groupes de 3 (4) chiffres, en complétant les groupes les plus à gauche et à droite par des zéros si nécessaire. Chaque groupe est ensuite remplacé par le chiffre octal (16) correspondant.

Exemple 1 : convertir le nombre 110100011110100111,1001101 2 en SS octal.

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

Exemple 2 : Convertissez le nombre 110100011110100111.1001101 2 en SS hexadécimal.

0011 0100 0111 1010 0111.1001 1010 2 = 347A7.9A 16

Opérations arithmétiques dans tous les systèmes de numérotation positionnelle, les nombres sont exécutés selon les mêmes règles que vous connaissez bien.

Ajout. Considérons l'ajout de nombres dans le système de nombres binaires. Il est basé sur un tableau d'addition de nombres binaires à un chiffre :

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Il est important de faire attention au fait que lors de l'ajout de deux uns, le chiffre déborde et est transféré au chiffre le plus significatif. Un débordement de chiffres se produit lorsque la valeur du nombre qu'il contient devient égale ou supérieure à la base.

L'ajout de nombres binaires multibits s'effectue conformément au tableau d'addition ci-dessus, en tenant compte des transferts possibles des chiffres de poids faible vers les chiffres de poids fort. A titre d'exemple, ajoutons les nombres binaires 110 2 et 11 2 dans une colonne :

Soustraction. Voyons comment soustraire des nombres binaires. Il est basé sur un tableau de soustraction de nombres binaires à un chiffre. Lors de la soustraction d'un nombre plus grand (1) d'un nombre plus petit (0), un prêt est effectué à partir du chiffre le plus élevé. Dans le tableau, le prêt est désigné 1 par une ligne :

Multiplication. La multiplication est basée sur la table de multiplication des nombres binaires à un chiffre :

Division. L'opération de division est effectuée à l'aide d'un algorithme similaire à l'algorithme permettant d'effectuer l'opération de division dans le système de nombres décimaux. A titre d'exemple, divisons le nombre binaire 110 2 par 11 2 :

Pour effectuer des opérations arithmétiques sur des nombres exprimés dans différents systèmes numériques, il faut d'abord les convertir dans le même système.

Opérations arithmétiques dans les systèmes de numérotation positionnelle

Les opérations arithmétiques dans tous les systèmes de numérotation positionnelle sont effectuées selon les mêmes règles que vous connaissez bien.

Ajout. Considérons l'ajout de nombres dans le système de nombres binaires. Il est basé sur un tableau d'addition de nombres binaires à un chiffre :

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Vérifions l'exactitude des calculs en ajoutant le système de nombres décimaux. Convertissons les nombres binaires au système de nombres décimaux, puis ajoutons-les :

110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10 ;

11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10 ;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Convertissons maintenant le résultat de l'addition binaire en nombre décimal :

1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10.

Comparons les résultats - l'addition a été effectuée correctement.

Multiplication. La multiplication est basée sur la table de multiplication des nombres binaires à un chiffre :

Pour effectuer des opérations arithmétiques sur des nombres exprimés dans différents systèmes numériques, il faut d'abord les convertir dans le même système.

Tâches

1.22. Additionnez, soustrayez, multipliez et divisez les nombres binaires 1010 2 et 10 2 et vérifiez l'exactitude des opérations arithmétiques à l'aide d'une calculatrice électronique.

1.23. Additionnez les nombres octaux : 5 8 et 4 8, 17 8 et 41 8.

1.24. Soustraire les nombres hexadécimaux : F 16 et A 16, 41 16 et 17 16.

1.25. Additionnez les nombres : 17 8 et 17 16, 41 8 et 41 16