Une condition nécessaire et suffisante pour l'inversibilité d'une matrice carrée. Matrice inverse. Rang matriciel

§6. Propriétés des déterminants

§7. matrice inverse

Matrices non singulières et singulières

matrice inverse

Condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une matrice inverse

Algorithme de calcul de la matrice inverse à l'aide de la formule

Calcul de la matrice inverse à l'aide de transformations élémentaires

§6. Propriétés des déterminants

1. Si une ligne (colonne) de la matrice est égale à zéro, alors son déterminant est égal à zéro.

Corollaire 1. Si une matrice carrée contient deux lignes (colonnes) identiques, alors son déterminant est nul.

Corollaire 2. Si les éléments de deux lignes (colonnes) d'une matrice sont proportionnels, alors son déterminant est égal à zéro.

2. Si tous les éléments d'une ligne (colonne) d'une matrice sont multipliés par un nombre, son déterminant sera multiplié par ce nombre.

Commentaire. Le signe du déterminant peut être considéré comme le facteur commun de n'importe quelle ligne (colonne), contrairement à une matrice dont le signe ne peut être considéré que comme le facteur commun de tous les éléments.

3. Lorsqu'une matrice est transposée, son déterminant ne change pas.

4. Lorsque deux lignes (colonnes) d'une matrice sont interchangées, son déterminant change de signe pour celui opposé.

5. Le déterminant de la matrice ne change pas si une autre ligne (colonne) multipliée par un nombre est ajoutée à n'importe quelle ligne (colonne).

6. Le déterminant du produit de deux matrices carrées est égal au produit de leurs déterminants, c'est-à-dire

Commentaire. Même UN∙DANS ≠ DANS∙UN, .

Ainsi, en utilisant les propriétés des déterminants, nous pouvons réduire n’importe quel déterminant à une forme triangulaire. Examinons ce processus avec un exemple.

Exemple. Calculer le déterminant

Solution.

§ 7. matrice inverse

Pour chaque numéro UN¹ 0 il y a un nombre inverse UN–1 tel que UN· UN–1 = 1. Pour les matrices carrées, un concept similaire est introduit.

Considérons une matrice carrée

.

Matrice Carrée UN appelé non dégénéré, si son déterminant est non nul, et dégénérer si son déterminant est nul.

Matrice Carrée UN–1 est appelé inverse pour une matrice carrée UN, si leur produit à gauche et à droite est égal à la matrice identité :

UN · UN –1 = Un-1 · A = E.

Contrairement aux nombres, toutes les matrices carrées n’ont pas d’inverse.

Théorème (condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une matrice inverse). Pour que la matrice A ait un inverse, il faut et il suffit qu'elle soit non dégénérée.

Matrice inverse d’une matrice donnée.

Toutes les matrices n’ont pas d’inverse.

Théorème 1. Les propriétés les plus simples d'une matrice inverse.

1°. Toute matrice peut avoir au plus un inverse.

2°. E –1 = E.

3°. ( UN –1) –1 = UN.

4°. ( UN B) –1 = B –1 UN –1 .

Matrices carrées singulières et non singulières.

Théorème 2. Critère d'inversibilité matricielle.

Une matrice est inversible si et seulement si elle est non singulière.

Lemme 1. Toute transformation élémentaire ligne (colonne) d'une matrice peut être mise en œuvre en multipliant cette matrice à gauche (à droite) par la matrice élémentaire correspondante.

Lemme 2. Pour qu'une matrice soit non singulière, il est nécessaire et suffisant qu'elle puisse être réduite à la matrice identité en utilisant uniquement des transformations élémentaires par lignes.

Lemme 3. Si les lignes (colonnes) de la matrice UN (B) sont linéairement dépendants et C = UN B, alors exactement la même dépendance linéaire s'applique aux lignes (colonnes) de la matrice AVEC.

Une manière pratique de calculer la matrice inverse :

UN|E ... E|UN –1 .

Équations matricielles.

Enregistrement des SLE sous la forme d'une équation matricielle d'une forme spéciale. La tour de Cramer sous forme matricielle.

Permutations et substitutions

Réarrangements. Enregistrer une permutation. Nombre de permutations néléments. Inversions. Permutations paires et impaires. Transpositions.

Théorème. Propriétés des transpositions.

1°. Vous pouvez passer de n'importe quelle permutation à n'importe quelle autre permutation en utilisant plusieurs transpositions.

2°. Chaque transposition change la parité de la permutation.

Remplacements. S n. Remplacements d’enregistrement. Parité de substitution. Exactitude de la détermination de la parité d'une substitution. Caractère générique. (–1) s (p) .

Définition du déterminant

Définition du déterminant.

Exemples de calcul des déterminants de matrices du deuxième et du troisième ordre, le déterminant de la matrice triangulaire supérieure (inférieure), le déterminant d'une matrice dans laquelle tous les éléments en dessous (au-dessus) de la diagonale latérale sont égaux à zéro.

Propriétés du déterminant

Théorème. Propriétés du déterminant.

1°. det t UN= dét UN.

2°.det = dét + dét .

3°. det = l×det .

4°. det = –det .

5°. Si l'une des lignes de la matrice est nulle, alors le déterminant de la matrice est égal à zéro.

6°. Si deux lignes d'une matrice sont égales, alors le déterminant de la matrice est zéro.

7°. Si deux lignes d'une matrice sont proportionnelles, alors le déterminant de la matrice est zéro.

8°. Si l'une des lignes de la matrice est multipliée par un nombre et ajoutée à une autre ligne, le déterminant ne changera pas.

9°. Le déterminant d'une matrice singulière est égal à zéro.

10°. Le déterminant d'une matrice non singulière est non nul.

Note. Les propriétés 1° à 4° sont prouvées par définition, les propriétés restantes sont dérivées à l'aide des propriétés 1° à 4°.

Corollaire 1. Critère de non-dégénérescence d'une matrice.

Une matrice carrée est non singulière si et seulement si son déterminant est non nul.

Corollaire 2. Un système homogène d'équations linéaires composé de néquations avec n inconnu, a des solutions non nulles si et seulement si le déterminant de la matrice système est égal à zéro.

Mineurs et compléments algébriques. Décomposition du déterminant en ligne et colonne

Mineure M ij Matrice Carrée. Complément algébrique Un ijélément un ij Matrice Carrée.

Théorème sur la décomposition.

dét UN = un k 1 Un k 1 +un k 2 Un k 2 + ... +un kn Un kn, dét UN = un 1k UN 1k +un 2k UN 2k + ... +un nk un nk

pour toute k =

Étapes de preuve

1. Pour une matrice dans laquelle Un = e n, par définition det.

2. Pour une matrice dans laquelle Un je = e j, en se réduisant au cas 1, en tenant compte du signe Un je et l'immuabilité M ij.

3. Cas général par représentation Un je comme une somme n vecteurs et réduction au cas 2.

Une autre propriété du déterminant

11°. un k 1 Un p 1 +un k 2 Un p 2 + ... +un kn un pn,un 1 kA 1 p+un 2 kA 2 p+ ... +a nk A np, Si k ¹ p.

Soit une matrice carrée d'ordre n

La matrice A -1 est appelée matrice inverse par rapport à la matrice A, si A*A -1 = E, où E est la matrice identité d'ordre n.

Matrice d'identité- une telle matrice carrée dans laquelle tous les éléments le long de la diagonale principale, passant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit, sont des uns, et les autres sont des zéros, par exemple :

matrice inverse peut exister uniquement pour les matrices carrées ceux. pour les matrices dans lesquelles le nombre de lignes et de colonnes coïncide.

Théorème de la condition d'existence d'une matrice inverse

Pour qu’une matrice ait une matrice inverse, il faut et il suffit qu’elle soit non singulière.

La matrice A = (A1, A2,...A n) est appelée non dégénéré, si les vecteurs colonnes sont linéairement indépendants. Le nombre de vecteurs colonnes linéairement indépendants d'une matrice est appelé le rang de la matrice. On peut donc dire que pour qu'une matrice inverse existe, il faut et suffisant que le rang de la matrice soit égal à sa dimension, c'est-à-dire r = n.

Algorithme pour trouver la matrice inverse

1. Écrivez la matrice A dans le tableau pour résoudre les systèmes d'équations à l'aide de la méthode gaussienne et attribuez-lui la matrice E à droite (à la place des membres droits des équations).
2. À l'aide des transformations de Jordan, réduisez la matrice A à une matrice composée de colonnes unitaires ; dans ce cas, il faut transformer simultanément la matrice E.
3. Si nécessaire, réorganisez les lignes (équations) du dernier tableau de manière à ce que sous la matrice A du tableau d'origine vous obteniez la matrice d'identité E.
4. Notez la matrice inverse A -1, qui se trouve dans le dernier tableau sous la matrice E du tableau d'origine.

Exemple 1

Pour la matrice A, trouvez la matrice inverse A -1

Solution : Nous écrivons la matrice A et attribuons à droite la matrice d'identité E. À l'aide des transformations de Jordan, nous réduisons la matrice A à la matrice d'identité E. Les calculs sont donnés dans le tableau 31.1.

Vérifions l'exactitude des calculs en multipliant la matrice originale A et la matrice inverse A -1.

Grâce à la multiplication matricielle, la matrice d'identité a été obtenue. Les calculs ont donc été effectués correctement.

Répondre:

Résolution d'équations matricielles

Les équations matricielles peuvent ressembler à :

AX = B, HA = B, AXB = C,

où A, B, C sont les matrices spécifiées, X est la matrice souhaitée.

Les équations matricielles sont résolues en multipliant l'équation par des matrices inverses.

Par exemple, pour trouver la matrice de l’équation, vous devez multiplier cette équation par la gauche.

Par conséquent, pour trouver une solution à l’équation, vous devez trouver la matrice inverse et la multiplier par la matrice du côté droit de l’équation.

D'autres équations sont résolues de la même manière.

Exemple 2

Résolvez l'équation AX = B si

Solution: Puisque la matrice inverse est égale à (voir exemple 1)

Méthode matricielle en analyse économique

Avec d'autres, ils sont également utilisés méthodes matricielles. Ces méthodes sont basées sur l'algèbre linéaire et vectorielle-matrice. De telles méthodes sont utilisées pour analyser des phénomènes économiques complexes et multidimensionnels. Le plus souvent, ces méthodes sont utilisées lorsqu'il est nécessaire de procéder à une évaluation comparative du fonctionnement des organisations et de leurs divisions structurelles.

Dans le processus d'application des méthodes d'analyse matricielle, plusieurs étapes peuvent être distinguées.

À la première étape un système d'indicateurs économiques est en cours de formation et sur cette base, une matrice de données initiales est compilée, qui est un tableau dans lequel les numéros du système sont affichés dans ses lignes individuelles (je = 1,2,....,n), et en colonnes verticales - nombre d'indicateurs (j = 1,2,....,m).

À la deuxième étape Pour chaque colonne verticale, la plus grande des valeurs d'indicateur disponibles est identifiée, qui est considérée comme une.

Après cela, tous les montants reflétés dans cette colonne sont divisés par la valeur la plus élevée et une matrice de coefficients standardisés est formée.

À la troisième étape toutes les composantes de la matrice sont au carré. S'ils ont une signification différente, alors chaque indicateur matriciel se voit attribuer un certain coefficient de pondération k. La valeur de ce dernier est déterminée par avis d'experts.

Sur le dernier, quatrième étape valeurs de notation trouvées Rj sont regroupés par ordre d’augmentation ou de diminution.

Les méthodes matricielles décrites devraient être utilisées, par exemple, dans une analyse comparative de divers projets d'investissement, ainsi que dans l'évaluation d'autres indicateurs économiques des activités des organisations.

Matrice inverse · La matrice B est appelée l'inverse de la matrice si l'égalité est vraie : . Désignation: − Carré uniquement une matrice peut avoir une matrice inverse. − Pas tous les carrés la matrice a une matrice inverse. Propriétés: 1. ; 2. ; 3. , où les matrices sont carrées et de même dimension. D'une manière générale, si pour les matrices non carrées un produit est possible, qui sera une matrice carrée, alors l'existence d'une matrice inverse est également possible , bien que la propriété 3 soit violée. Pour trouver la matrice inverse, vous pouvez utiliser la méthode des transformations élémentaires de lignes : 1. Composez une matrice étendue en attribuant à droite de la matrice d'origine une matrice identité de dimension appropriée : . 2. Transformations élémentaires des lignes matricielles g conduit à la forme : . − rang requis de la matrice · Le mineur du kème ordre d'une matrice est un déterminant composé d'éléments de la matrice d'origine situés à l'intersection de k lignes et k colonnes quelconques ( ). Commentaire. Chaque élément de la matrice est son mineur du 1er ordre. Théorème. Si dans une matrice tous les mineurs du kième ordre sont égaux à zéro, alors tous les mineurs d'un ordre supérieur sont égaux à zéro. Développons le mineur (déterminant) ( k+1)ème ordre à travers les éléments de la 1ère ligne : . Les compléments algébriques sont essentiellement mineurs k- ordre, qui par les conditions du théorème sont égaux à zéro. Ainsi, . · Dans une matrice d'ordre, un mineur d'ordre est dit basique s'il n'est pas égal à zéro, et tous les mineurs d'ordre et supérieurs sont égaux à zéro ou n'existent pas du tout, c'est-à-dire correspond au plus petit des nombres ou . Les colonnes et les lignes de la matrice à partir desquelles se trouve la base mineure sont appelées base. Une matrice peut avoir plusieurs bases mineures différentes qui ont le même ordre. · L'ordre de la base mineure d'une matrice est appelé le rang de la matrice Et noté par : , . Il est évident que . Par exemple. 1. , . 2. . Matrice DANS contient un seul élément non nul qui est mineur de 1er ordre. Tous les déterminants d’ordre supérieur contiendront la 0ème ligne et seront donc égaux à 0. Par conséquent, . matrice inverse 4. Systèmes d'équations linéaires. Concepts de base. Système d'équations algébriques linéaires ( système linéaire, des abréviations sont également utilisées SLAU, SLU) - un système d'équations, chaque équation dans laquelle est une équation linéaire - algébrique du premier degré. Vue générale du système d'équations algébriques linéaires : Voici le nombre d'équations, et c'est le nombre de variables, sont les inconnues qu'il faut déterminer, les coefficients et les termes libres sont supposés connus. Le système s'appelle homogène, si tous ses termes libres sont égaux à zéro (), sinon - hétérogène. La solution d'un système d'équations algébriques linéaires est un ensemble de nombres tels que la substitution correspondante de place dans le système transforme toutes ses équations en identités. Un système est dit cohérent s’il possède au moins une solution, et incohérent s’il ne possède aucune solution. Les solutions sont considérées comme différentes si au moins une des valeurs des variables ne coïncide pas. Un système commun avec une seule solution est dit défini ; s’il y a plus d’une solution, il est dit sous-déterminé. Forme matricielle Un système d'équations algébriques linéaires peut être représenté sous forme matricielle comme suit : ou: . Voici la matrice du système, la colonne des inconnues et la colonne des termes libres. Si une colonne de termes libres est ajoutée à droite d'une matrice, alors la matrice résultante est dite étendue. Théorème de Kronecker-Capelli Théorème de Kronecker-Capelliétablit une condition nécessaire et suffisante pour la compatibilité d'un système d'équations algébriques linéaires à travers les propriétés des représentations matricielles : un système est compatible si et seulement si le rang de sa matrice coïncide avec le rang de la matrice étendue. Méthodes de résolution de systèmes d'équations linéaires. Méthode matricielle Soit un système d'équations linéaires à inconnues (sur un corps arbitraire) : Réécrivons-le sous forme matricielle : Nous trouverons la solution du système à l'aide de la formule. Nous trouverons la matrice inverse à l'aide de la formule : , où est la matrice transposée des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice. Si, alors la matrice inverse n’existe pas et il est impossible de résoudre le système à l’aide de la méthode matricielle. Dans ce cas, le système est résolu par la méthode gaussienne. Méthode de Cramer La méthode de Cramer (règle de Cramer) est une méthode de résolution de SLAE avec un nombre d'équations égal au nombre d'inconnues avec un déterminant principal non nul de la matrice. Pour un système d'équations linéaires à inconnues On remplace la i-ième colonne de la matrice par une colonne de termes libres b Exemple : Système d'équations linéaires à coefficients réels : Qualifications : Dans les déterminants, la colonne des coefficients de l'inconnue correspondante est remplacée par une colonne de termes libres du système. Solution: 5. Méthode gaussienne Algorithme de solution : 1. Écrivez la matrice étendue 2. Réduisez-la sous une forme pas à pas par des transformations élémentaires 3. Inversez le mouvement, au cours duquel nous exprimons les termes de base en termes de termes libres. Une matrice augmentée est obtenue en ajoutant une colonne de termes factices à la matrice. Il existe les transformations élémentaires suivantes : 1. Les lignes de la matrice peuvent être réorganisées. 2. S'il y a (ou sont apparus) des lignes proportionnelles (dans un cas particulier, identiques) dans la matrice, alors toutes ces lignes doivent être supprimées de la matrice sauf une. 3. Si une ligne zéro apparaît dans la matrice lors des transformations, elle doit également être supprimée. 4. Une ligne matricielle peut être multipliée (divisée) par n'importe quel nombre, non nul. 5. Vous pouvez ajouter une autre ligne à une ligne matricielle, multipliée par un nombre autre que zéro. Les transformations élémentaires ne changent pas la solution du système d'équations. Inverse : Habituellement, les variables qui se trouvent aux premiers endroits dans les lignes non nulles de la matrice transformée du système sont prises comme variables de base, c'est-à-dire sur les étapes". Ensuite, les conditions de base sont exprimées en termes de conditions libres. Nous allons « de bas en haut », en exprimant simultanément les termes de base et en substituant les résultats dans l'équation supérieure. Exemple : les variables de base « se reposent » toujours strictement sur les étapes de la matrice. Dans cet exemple, les variables de base sont et les variables libres sont toutes les variables restantes qui n'ont pas reçu de pas. Dans notre cas il y en a deux : – les variables libres. Maintenant tu as besoin de tout variables de base exprimer seulement à travers variables libres. L'inverse de l'algorithme gaussien fonctionne traditionnellement de bas en haut

Pour chaque nombres a¹0 il y a un nombre inverse un -1 de telle sorte que le travail a×a -1 =1. Un concept similaire est introduit pour les matrices carrées.

Définition. S'il existe des matrices carrées X et A du même ordre satisfaisant la condition :

où E est la matrice identité du même ordre que la matrice A, alors la matrice X est appelée inverseà la matrice A et est noté A -1.

De la définition, il s'ensuit que seule une matrice carrée a un inverse ; dans ce cas, la matrice inverse est également un carré du même ordre.

Cependant, toutes les matrices carrées n’ont pas d’inverse. Si l'état a¹0 est nécessaire et suffisant à l’existence d’un certain nombre un -1, alors pour l'existence de la matrice A -1 une telle condition est l'exigence DA ¹0.

Définition. Matrice Carrée n-l'ordre est appelé non dégénéré (non singulier), si son déterminant est DA ¹0.

Si DA= 0 , alors la matrice A est appelée dégénéré (spécial).

Théorème(une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’une matrice inverse). Si une matrice carrée pas spécial(c'est-à-dire que son déterminant n'est pas égal à zéro), alors pour lui il existe le seul matrice inverse.

Preuve.

JE. Nécessité. Soit la matrice A ayant un inverse A -1, c'est-à-dire AA-1 = A-1 A=E. Par propriété 3 déterminants ( § 11) nous avons D(AA -1)= D(A -1) D(A)= D(E)=1, c'est-à-dire D.A. ¹0 et DA-1 ¹0.

Je je. Adéquation. Soit la matrice carrée A non singulière, c'est-à-dire D.A. ¹0 . Écrivons la matrice transposée A T :

Dans cette matrice, on remplace chaque élément par son complément algébrique, et on obtient la matrice :

La matrice A* est appelée annexé matrice à la matrice A.

Trouvons le produit AA* (et A*A) :

Où diagonaleéléments = DA,

DA.(formule 11.1 §onze)

Et tout le monde hors diagonale les éléments de la matrice AA* sont égaux à zéro propriété 10 §11, Par exemple:

etc. Ainsi,

AA * = ou AA * = DA= DA×E.

De même, il est prouvé que A * A = DA×E.

En divisant les deux égalités obtenues par DA, on obtient : . Ceci, par la définition d'une matrice inverse, implique l'existence d'une matrice inverse

Parce que AA -1 =A -1 A=E.

L'existence d'une matrice inverse a été prouvée. Prouvons l'unicité. Supposons qu'il existe une autre matrice inverse F pour la matrice A, alors AF = E et FA = E. En multipliant les deux côtés de la première égalité par A -1 à gauche, et la seconde par A -1 à droite, on obtient : A -1 AF = A - 1 E et FA A -1 = E A -1, d'où EF = A -1 E et FE = E A -1. Par conséquent, F = A -1. L'unicité a été prouvée.

Exemple.Étant donné une matrice A = , trouvez A -1 .

Algorithme de calcul de la matrice inverse :

Propriétés des matrices inverses.

1) (UNE -1) -1 = UNE ;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (UNE T) -1 = (UNE -1) T .

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Considérons les matrices

De plus, les éléments des matrices A et B sont donnés, et X 1, X 2, X 3 sont inconnus.

Alors l’équation A × X = B est appelée l'équation matricielle la plus simple.

Pour le résoudre, c'est-à-dire pour retrouver les éléments de la matrice d'inconnues X, on procède de la manière suivante :

1. Multipliez les deux côtés de l'équation par la matrice A -1, l'inverse de la matrice A , gauche:

A -1 (A × X) = A -1 × B

2. En utilisant la propriété de multiplication matricielle, on écrit

(UNE -1 × UNE) X = UNE -1 × B

3. De la définition d'une matrice inverse

(A -1 × A = E) nous avons E × X = A -1 × B.

4. En utilisant la propriété de la matrice identité (E × X = X), on obtient finalement X = A -1 × B

Commentaire. Si l'équation matricielle a la forme X × C = D, alors pour trouver la matrice inconnue X, l'équation doit être multipliée par C -1 sur la droite.

Exemple. Résoudre l'équation matricielle

Solution. Introduisons la notation

Leur définition de multiplication matricielle, prenant en compte les dimensions A et B, la matrice des inconnues X aura la forme

Compte tenu de la notation introduite que nous avons

A × X = B d'où X = A -1 × B

Trouvons A -1 en utilisant l'algorithme de construction de la matrice inverse

Calculons le produit

Alors pour X on obtient

X = d'où x 1 = 3, x 2 = 2

Rang matriciel

Considérons une matrice A de taille (m x n)

Le kième mineur d'ordre d'une matrice A est le déterminant d'ordre k, dont les éléments sont les éléments de la matrice A qui se trouvent à l'intersection de K lignes et de K colonnes quelconques. Évidemment, k £ min (m, n).

Définition. Le rang r(A) d'une matrice A est l'ordre le plus élevé du mineur non nul de cette matrice.

Définition. Tout mineur non nul d'une matrice dont l'ordre est égal à son rang est appelé mineur de base.

Définir e. Les matrices ayant les mêmes rangs sont appelées équivalent.

Calcul du classement matriciel

Définition. La matrice s'appelle fait un pas, si le premier élément non nul de chaque ligne contient des zéros dans les lignes sous-jacentes.

Théorème. Le rang d'une matrice échelonnée est égal au nombre de ses lignes non nulles.

Ainsi, en transformant la matrice sous forme échelonnée, il est facile de déterminer son rang. Cette opération s'effectue à l'aide transformations matricielles élémentaires, qui ne change pas de rang :

— multiplication de tous les éléments de la ligne matricielle par le nombre l ¹ 0 ;

- remplacer les lignes par des colonnes et vice versa ;

— réarrangement des rangées parallèles ;

— rayer la ligne zéro ;

- ajouter aux éléments d'une certaine série les éléments correspondants d'une série parallèle, multipliés par n'importe quel nombre réel.

Exemple.

Théorème (condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une matrice inverse).

Calculer le rang de la matrice

UNE =

Solution. Transformons la matrice sous forme échelonnée. Pour ce faire, ajoutez la deuxième ligne à la troisième ligne, multipliée par (-3).

UNE~

Ajoutons une troisième à la quatrième ligne.

Le nombre de lignes non nulles dans la matrice équivalente résultante est de trois, donc r(A) = 3.

Systèmes de n équations linéaires à n inconnues.

Méthodes pour les résoudre

Considérons un système de n équations linéaires à n inconnues.

Un 11 x 1 + un 12 x 2 + ... + un 1 n x n = b 1

une 21 x 1 + une 22 x 2 + ... + une 2 n x n = b 2 (1)

……………………………….

une n 1 x 1 + une n 2 x 2 + … + une nn x n = b n

Définition: La solution du système (1) est un ensemble de nombres (x 1, x 2, ..., x n), qui transforme chaque équation du système en une véritable égalité.

La matrice A, composée de coefficients pour inconnues, est appelée matrice principale du système (1).

UNE =

La matrice B, constituée d'éléments de la matrice A et d'une colonne de termes libres du système (1), est appelée matrice étendue.

B =

Méthode matricielle

Considérons les matrices

X = — matrice d'inconnues ;

С = est la matrice des termes libres du système (1).

Ensuite, selon la règle de multiplication matricielle, le système (1) peut être représenté comme une équation matricielle

A × X = C (2)

La solution de l'équation (2) est indiquée ci-dessus, c'est-à-dire X = A -1 × C, où A -1 est la matrice inverse de la matrice principale du système (1).

Méthode Cramer

Un système de n équations linéaires à n inconnues, dont le déterminant principal est non nul, a toujours une solution et, de plus, unique, qui se trouve selon les formules :

où D = det A est le déterminant de la matrice principale A du système (1), qui est appelée la principale, Dх i sont obtenus à partir du déterminant D en remplaçant la i-ème colonne par une colonne de termes libres, c'est-à-dire

Dx1 = ;

Dx2 = ; … ;

Exemple.

Résoudre un système d'équations en utilisant la méthode de Cramer

2x1 + 3x2 + 4x3 = 15

x1 + x2 + 5x3 = 16

3x 1 - 2x 2 + x 3 = 1

Solution.

Calculons le déterminant de la matrice principale du système

D = dét A = = 44 ¹ 0

Calculons les déterminants auxiliaires

Dx3 = = 132.

En utilisant les formules de Cramer, nous trouverons les inconnues

; ; .

Ainsi x 1 = 0 ; x2 = 1 ; x3 = 3.

Méthode Gauss

L'essence de la méthode de Gauss est l'élimination séquentielle des inconnues des équations du système, c'est-à-dire en réduisant la matrice principale du système à une forme triangulaire, lorsqu'il y a des zéros sous sa diagonale principale. Ceci est réalisé en utilisant des transformations matricielles élémentaires sur les lignes. À la suite de telles transformations, l'équivalence du système n'est pas violée et il acquiert également une forme triangulaire, c'est-à-dire la dernière équation contient une inconnue, l'avant-dernière deux, etc. En exprimant la nième inconnue de la dernière équation et en utilisant le mouvement inverse, en utilisant une série de substitutions successives, on obtient les valeurs de toutes les inconnues.

Exemple. Résoudre un système d'équations en utilisant la méthode de Gauss

3x 1 + 2x 2 + x 3 = 17

2x 1 - x 2 + 2x 3 = 8

x1 + 4x2 - 3x3 = 9

Solution. Écrivons la matrice étendue du système et réduisons la matrice A qu'elle contient à une forme triangulaire.

Échangeons les première et troisième lignes de la matrice, ce qui équivaut à réorganiser les première et troisième équations du système. Cela nous permettra d'éviter l'apparition d'expressions fractionnaires dans les calculs ultérieurs

B~

Nous multiplions séquentiellement la première ligne de la matrice résultante par (-2) et (-3) et l'ajoutons respectivement aux deuxième et troisième lignes, et B aura la forme :

Après avoir multiplié la deuxième ligne par et l'avoir ajoutée à la troisième ligne, la matrice A prendra une forme triangulaire. Cependant, pour simplifier les calculs, vous pouvez procéder comme suit : multipliez la troisième ligne par (-1) et ajoutez-la à la seconde. On obtient alors :

B~

B~

Restituons à partir de la matrice résultante B un système d'équations équivalent à celui-ci

X1 + 4x2 - 3x3 = 9

x2 - 2x3 = 0

— 10x3 = -10

De la dernière équation on trouve Nous substituons la valeur trouvée x 3 = 1 dans la deuxième équation du système, à partir de laquelle x 2 = 2x 3 = 2 × 1 = 2.

Après avoir remplacé x 3 = 1 et x 2 = 2 dans la première équation pour x 1, nous obtenons x 1 = 9 - 4x 2 + 3x 3 = 9 - 4 × 2 + 3 × 1 = 4.

Donc x 1 = 4, x 2 = 2, x 3 = 1.

Commentaire. Pour vérifier l'exactitude de la solution d'un système d'équations, il est nécessaire de substituer les valeurs trouvées des inconnues dans chacune des équations de ce système. De plus, si toutes les équations se transforment en identités, alors le système est résolu correctement.

Examen:

3 × 4 + 2 × 2 + 1 = 17 correct

2 × 4 – 2 + 2 × 1 = 8 correct

4 + 4 × 2 – 3 × 1 = 9 correct

Le système est donc correctement résolu.

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Lire aussi :

Les équations matricielles les plus simples

où sont des matrices de tailles telles que toutes les opérations utilisées sont possibles, et les côtés gauche et droit de ces équations matricielles sont des matrices de même taille.

La solution des équations (1) à (3) est possible en utilisant des matrices inverses dans le cas de matrices non dégénérées pour X. Dans le cas général, la matrice X s'écrit élément par élément et les actions spécifiées dans l'équation sont effectué sur les matrices. Le résultat est un système d’équations linéaires. Après avoir résolu le système, trouvez les éléments de la matrice X.

Méthode matricielle inverse

Il s'agit d'une solution d'un système d'équations linéaires dans le cas d'une matrice carrée non singulière du système A. Elle se trouve à partir de l'équation matricielle AX=B.

A -1 (AX)=A -1 V, (A -1 A)X=A -1 V, EX= A -1 V, X= A -1 V.

Les formules de Cramer

Théorème.Soit Δ — est le déterminant de la matrice du système A, et Δ j est le déterminant de la matrice obtenue à partir de la matrice A en remplaçant la jème colonne de termes libres. Alors, si Δ≠ 0, alors le système a une solution unique, déterminée par les formules :

- Les formules de Cramer.

DZ 1. 2.23, 2.27, 2.51,2.55, 2.62 ; DZ 2.2.19, 2.26, 2.40,2.65

Thème 4. Nombres complexes et polynômes

Nombres complexes et opérations sur eux

Définitions.

1. Nous accepterons d'appeler un symbole de la forme a + bi, où a et b sont des nombres réels arbitraires, un nombre complexe.

2. On s'accorde pour considérer les nombres complexes a + bi et a 1 + b 1 i égaux si a = a 1 et

b = b 1 .

3. On convient de considérer un nombre complexe de la forme a + 0i égal au nombre réel a.

4. La somme de deux nombres complexes a + bi et a 1 + b 1 i est appelée le nombre complexe (a + a 1) + (b + b 1)i.

Matrice inverse. Rang matriciel.

Le produit de deux nombres complexes est le nombre complexe aa 1 – bb 1 + (a b 1 +a 1 b)i.

Nombre complexe de la forme 0 + bi est appelé un nombre purement imaginaire et s'écrit généralement ainsi : bi; numéro 0 +1 je = je appelé unité imaginaire.

D'après la définition 3, tout nombre réel UN correspond à un nombre complexe « égal » a+0i et vice versa - à n'importe quel nombre complexe a+0i correspond à un nombre réel "égal" UN, c'est-à-dire qu'il existe une correspondance biunivoque entre ces nombres. Si l'on considère la somme et le produit de nombres complexes un 1 + 0i et un 2 + 0i d'après les règles 4 et 5, on obtient :

(une 1 + 0i) + (une 2 + 0i) = (une 1 + une 2) + 0i,

(une 1 + 0i) (une 2 + 0i) = (une 1 une 2 – 0) + (une 1 0+une 2 0) je = une 1 une 2 + 0i.

On voit que la somme (ou produit) de ces nombres complexes correspond à un nombre réel « égal » à la somme (ou produit) des nombres réels correspondants. Ainsi, la correspondance entre nombres complexes de la forme a+0i et nombre réel UN est tel qu'en effectuant des opérations arithmétiques sur les composants correspondants, des résultats correspondants sont obtenus. Une correspondance biunivoque maintenue lors de l'exécution d'actions est appelée isomorphisme. Cela nous permet d'identifier le numéro a+0i avec un vrai numéro UN et considérons chaque nombre réel comme un cas particulier d'un nombre complexe.

Conséquence. Carré numérique je est égal à – 1.

je 2 = je je = (0 +1i)(0 +1i) = (0 – 1) + (0 1 + 1 0)je =— 1.

Théorème.Pour l’addition et la multiplication de nombres complexes, les lois fondamentales du fonctionnement restent en vigueur.

Définitions :

1. Le nombre réel a est appelé la partie réelle du nombre complexe z = a + bi. Rez=a

2. Le nombre b est appelé la partie imaginaire du nombre complexe z, le nombre b est appelé le coefficient de la partie imaginaire de z. Imz=b.

3. Les nombres a + bi et a – bi sont appelés conjugués.

Nombre conjugué z = a + bi indiqué par le symbole

= a - bi.

Exemple. z =3 + je,= 3 - je.

Théorème.La somme et le produit de deux nombres complexes conjugués sont réels.

Preuve. Nous avons

Dans l’ensemble des nombres complexes, l’inverse de l’addition et de la multiplication peut être effectué.

Soustraction. Laisser z 1 = une 1 + b 1 je Et z 2 = une 2 + b 2 je sont des nombres complexes. différence z 1 – z 2 il y a un numéro z = x + y je, satisfaisant la condition z 1 = z 2 + z ou

une 1 + b 1 je = (une 2 + x) + (b 2 + y)je.

Pour déterminer X Et oui on obtient un système d'équations une 2 + x = une 1 Et b 2 + y = b 1, qui a une solution unique :

x = un 1 - un 2, y = b 1 - b 2,

z = (une 1 + b 1 je) – (une 2 + b 2 je) = une 1 – une 2 + (b 1 – b 2)je.

La soustraction peut être remplacée par une addition avec le nombre opposé à celui à soustraire :

z = (a 1 + b 1 i) – (a 2 + b 2 i) = (a 1 + b 1 i) + (- a 2 – b 2 i).

Division.

Quotient des nombres z 1 Et z 2≠ 0 est un nombre z = x + y je, satisfaisant la condition z 1 = z 2 z ou

une 1 + b 1 je = (une 2 + b 2 je) (x + yi),

ainsi,

une 1 + b 1 je = une 2 x - b 2 oui+ (b 2 x + une 2 oui)je,

d'où on obtient le système d'équations :

une 2 X - b 2 y = une 1 ,

b 2 X + une 2 oui = b 1 .

La solution à laquelle sera

ainsi,

En pratique, pour trouver le quotient, multipliez le dividende et le diviseur par le conjugué du diviseur :

Par exemple,

En particulier, l'inverse d'un nombre donné z, peut être représenté sous la forme

Note. Dans l'ensemble des nombres complexes reste valable théorème: si le produit est égal à zéro, alors au moins un des facteurs est égal à zéro.

En fait, si z 1 z 2 =0 et si z 1 ≠ 0, puis en multipliant par , on obtient

Q.E.D.

Lorsque vous effectuez des opérations arithmétiques sur des nombres complexes, vous devez être guidé par la règle générale suivante : les actions sont effectuées selon les règles habituelles pour les actions sur les expressions algébriques, suivies du remplacement de i 2 par-1.

Théorème.Lorsque chaque composant est remplacé par son numéro conjugué, le résultat de l'action est également remplacé par son numéro conjugué.

La preuve réside dans la vérification directe. Ainsi, par exemple, si chaque terme z 1 = une 1 + b 1 je Et z 2 = une 2 + b 2 je remplacer par le nombre conjugué, on obtient le conjugué de la somme z 1 + z 2 .

donc,

De même pour le produit nous avons :

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VOIR PLUS :

Équations matricielles

Kataline David

AX = B, où la matrice A est inversible

Puisque la multiplication matricielle n'est pas toujours commutative, nous multiplions les deux côtés de l'équation en partant de la gauche par $ A^(-1) $.

$A^(-1)\cdot|A\cdot X = B$

$A^(-1)\cdot A\cdot X = A^(-1)\cdot B$

$I_(n)\cdot X = A^(-1)\cdot B$

$\color(rouge)(X =A^(-1)\cdot B)$

Exemple 50
Résous l'équation
$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot X \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

Théorème 2. Critère d'existence d'une matrice inverse.

On multiplie à partir de la gauche par sa matrice inverse.
$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot X= \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

$I_(2)\cdot X = \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end( pmatrice)$

$X=\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\rightarrow X= \ début(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -9 & -22 \\ 4 & 9 \end(pmatrix)$

XA = B, où la matrice A est inversible

Puisque la multiplication matricielle n'est pas toujours commutative, nous multiplions les deux côtés de l'équation de droite par $ A^(-1) $.

$X\cdot A = B |\cdot A^(-1)$

$X\cdot A\cdot A^(-1) = B\cdot A^(-1)$

$X \cdot I_(n) =B\cdot A^(-1)$

La solution de l'équation a la forme générale
$\color(rouge)(X =B\cdot A^(-1))$

Exemple 51
Résous l'équation
$X \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end(pmatrix)$

Assurons-nous que la première matrice est inversible.
$\left|A\right|=5-6=-1\neq 0$, donc la matrice est inversible.

On multiplie à droite par sa matrice inverse.
$X \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix ) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$X\cdot I_(2)= \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(- 1)$

$X=\begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\rightarrow X= \ début(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix) \cdot \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -5 & 4\ \ -8 & 5 \end(pmatrix)$

MatricesMultiplication matricielleDéterminantsRang matricielMatrices inversesSystèmes d'équationsCalculatrices pour matrices

int. étonnement, surprise; joie, espoir; soudaineté, frayeur; chagrin, désespoir. Oh, comme c'est bon ! Oh, si seulement il en était ainsi ! Oh, comme tu m'as fait peur ! Oh, et agite tes mains. Oh, oh, mais il n'y a rien pour aider. Ah, jugez, jugez : quatre jupes, huit poches.

| Parfois, ah se transforme en nom. , mari. Ahhs, ohhs, et les soupirs des femmes. Qu'y avait-il de halètements, de surprise, de joie. Ahti, ahhli pour moi, une exclamation de chagrin, de tristesse ; Hélas; Je suis tellement excité, tous mes camarades sont en prison – y aura-t-il quelque chose pour moi aussi ? Ohti-axmul se marie-t-il d'une manière ou d'une autre ? Pas si chaud pour moi, ni incroyable, ni trop bon. Ahkhanki pour moi, akhanki, exprime pour ainsi dire la compassion pour soi-même ou pour autrui. Oh, comme les petits enfants, c'est une sorte de salutation. Halètement, halètement, halètement, émerveillement ; réjouissez-vous de quelque chose, pleurez, gémissez, exclamez-vous ah ! J'aurais aimé être seul à la maison. Oncle haletait en se regardant, prenait soin de soi, de ses affaires. J'ai haleté, j'avais peur, j'étais étonné. Nous avons également eu le souffle coupé et avons vu le chagrin. Un homme célibataire gémit parfois et un homme marié halète.

matrice inverse

Que diable. Nous avons eu le souffle coupé en apprenant cela. Allons-y allons-y. J'ai été étonné par ces miracles. Ils ont eu le souffle coupé, ou quoi ? Bravo encore. L’un halète, l’autre halète. Pourquoi es-tu excité ? Vous gémirez involontairement. Vous haletez mal, haletez encore, une moquerie de cris inutiles. J'ai passé toute la journée à gémir. La femme en vint à haleter, mais dut haleter ; Je suis venu voir la joie ou le chagrin de quelqu’un d’autre, mais mon propre malheur est arrivé. Aah mer. expression immodérée de joie, d'étonnement, de chagrin, de désespoir : mari haletant. ahalschnitsa non. haleta. celui qui s'émerveille de tout, qui loue les choses des autres au-delà de toute mesure, est envieux. Il y a sept achalers pour chaque achaler. Pour chaque bakhar, il y a sept ahals. Akhova inférieur Akhtitelny Penz. délicieux, incroyablement beau, beau, provoquant une exclamation d'étonnement et d'approbation. Horrible mouchoir. Ahwa ? épouses , arch.-sur. trou, espace; un trou, une coupure dans la peau, un dommage causé par un tir, une injection ou un coup imprudent. Akhovnya ? épouses peau gâtée par la peau akhova, akhova ou akhvod. Wow, wow ?, ruiner la peau avec un coup de feu, une piqûre, une coupure. Horrible samedi, lors des paiements, où les fautifs sont à la recherche d'argent.

Lemme: Pour toute matrice UN son produit par une matrice identité de taille appropriée est égal à la matrice UN: AE=EA=A.

Matrice DANS appelé inverse à la matrice UN, Si AB = BA = E. Matrice inverse à matrice UN désigné par A-1 .

Une matrice inverse n'existe que pour une matrice carrée.

Théorème: Matrice Carrée UN a un inverse si et seulement si le déterminant de cette matrice est non nul (|A|≠0).

Algorithme pour trouver la matrice inverse A -1 :

(pour les matrices du deuxième et du troisième ordre)

« Si vous voulez apprendre à nager, entrez hardiment dans l'eau, et si vous voulez apprendre Résoudre des problèmes, Que résolvez-les.»
D. Polya (1887-1985)

(Mathématicien. A apporté une grande contribution à la vulgarisation des mathématiques. A écrit plusieurs livres sur la façon de résoudre des problèmes et sur la manière d'enseigner la résolution de problèmes.)