Agence fédérale pour l'éducation

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État de Saint-Pétersbourg

Université Electrotechnique "LETI"

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Théorie des fonctions d'une variable complexe

Des lignes directrices

aux cours pratiques

en mathématiques supérieures

Saint-Pétersbourg

Maison d'édition SPbSETU "LETI"

CDU 512.64(07)

TFKP : Instructions méthodologiques pour résoudre les problèmes / compilé par : V.G. Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N. Sosnovsky : Maison d'édition de l'Université électrotechnique d'État de Saint-Pétersbourg "LETI", 2010. 32 p.

Approuvé

Conseil de rédaction et d'édition de l'Université

comme instructions méthodologiques

Les fonctions d'une variable complexe, dans le cas général, diffèrent des applications du plan réel
en soi uniquement par la forme de l'enregistrement. Un objet important et extrêmement utile est la classe de fonctions d'une variable complexe,

ayant la même dérivée que les fonctions d'une variable. On sait que les fonctions de plusieurs variables peuvent avoir des dérivées partielles et des dérivées directionnelles, mais, en règle générale, les dérivées dans des directions différentes ne coïncident pas et il n'est pas possible de parler de dérivée en un point. Cependant, pour les fonctions d'une variable complexe, il est possible de décrire les conditions dans lesquelles elles permettent la différenciation. L'étude des propriétés des fonctions différentiables d'une variable complexe fait l'objet d'instructions méthodologiques. Les instructions visent à démontrer comment les propriétés de ces fonctions peuvent être utilisées pour résoudre divers problèmes. La maîtrise réussie du matériel présenté est impossible sans des compétences de base en calcul avec des nombres complexes et une familiarité avec les objets géométriques les plus simples, définis en termes d'inégalités reliant les parties réelles et imaginaires d'un nombre complexe, ainsi que son module et son argument. Un résumé de toutes les informations nécessaires à cet effet se trouve dans les lignes directrices.

L'appareil standard d'analyse mathématique : limites, dérivées, intégrales, séries est largement utilisé dans le texte des lignes directrices. Lorsque ces concepts ont leurs propres spécificités, par rapport aux fonctions d'une variable, des explications appropriées sont données, mais dans la plupart des cas, il suffit de séparer les parties réelles et imaginaires et de leur appliquer l'appareil standard de l'analyse réelle.

1. Fonctions élémentaires d'une variable complexe

Il est naturel de commencer une discussion sur les conditions de différentiabilité des fonctions d'une variable complexe en recherchant quelles fonctions élémentaires ont cette propriété. De la relation évidente

Il s’ensuit que tout polynôme est différentiable. Et, puisqu’une série entière peut être différenciée terme par terme au sein de son cercle de convergence,

alors toute fonction est différentiable en des points au voisinage desquels elle peut être développée dans une série de Taylor. C’est une condition suffisante, mais, comme nous le verrons bientôt, elle est également nécessaire. Il est pratique de soutenir l'étude des fonctions d'une variable par rapport à leur dérivée en surveillant le comportement du graphe de fonctions. Ceci n'est pas possible pour les fonctions d'une variable complexe. Les points du graphique se trouvent dans un espace de dimension 4, .

Cependant, une représentation graphique de la fonction peut être obtenue en considérant les images d'ensembles assez simples dans le plan complexe.
, survenant sous l'influence d'une fonction donnée. Par exemple, considérons plusieurs fonctions simples de ce point de vue.

Fonction linéaire

Cette fonction simple est très importante, puisque toute fonction différentiable est localement similaire à une fonction linéaire. Considérons l'action de la fonction avec le plus de détails

Ici
-- module d'un nombre complexe Et -- son argument. Ainsi, la fonction linéaire effectue l'étirement, la rotation et la translation. Par conséquent, une application linéaire amène n’importe quel ensemble à un ensemble similaire. En particulier, sous l'influence d'une cartographie linéaire, les lignes droites se transforment en lignes droites et les cercles en cercles.

Fonction

Cette fonction est la deuxième plus complexe après linéaire. Il est difficile de s'attendre à ce qu'elle transforme n'importe quelle ligne en ligne droite et un cercle en cercle ; des exemples simples montrent que cela ne se produit pas, cependant, on peut montrer que cette fonction transforme l'ensemble de toutes les lignes et cercles en lui-même. Pour le vérifier, il convient d'accéder à la description réelle (coordonnée) de la cartographie

La preuve nécessite une description de la cartographie inverse

Considérons l'équation si
, alors nous obtenons l’équation générale de la droite. Si
, Que

Par conséquent, quand
l'équation d'un cercle arbitraire est obtenue.

Notez que si
Et
, alors le cercle passe par l’origine. Si
Et
, alors vous obtenez une ligne droite passant par l’origine.

Sous l'action de l'inversion, l'équation considérée sera réécrite sous la forme

, (
)

ou . On voit qu’il s’agit aussi d’une équation qui décrit soit des cercles, soit des lignes droites. Le fait que les coefficients de l'équation Et
les lieux échangés signifie que lors de l'inversion, les lignes droites passant par 0 se transformeront en cercles et les cercles passant par 0 se transformeront en lignes droites.

Fonctions de puissance

La principale différence entre ces fonctions et celles évoquées précédemment est qu'elles ne sont pas biunivoques (
). On peut dire que la fonction
transforme un plan complexe en deux copies du même plan. Un traitement précis de ce sujet nécessite l’utilisation de l’appareil encombrant des surfaces de Riemann et dépasse le cadre des problématiques considérées ici. Il est important de comprendre que le plan complexe peut être divisé en secteurs, chacun étant mappé un à un sur le plan complexe. Voici la répartition de la fonction
ressemble à ceci. Par exemple, le demi-plan supérieur est mappé un à un sur le plan complexe par la fonction.
. Les distorsions géométriques de telles images sont plus difficiles à décrire que dans le cas d'une inversion. A titre d'exercice, vous pouvez tracer en quoi se transforme la grille de coordonnées rectangulaires du demi-plan supérieur lors de l'affichage

On voit que la grille de coordonnées rectangulaires se transforme en une famille de paraboles qui forment un système de coordonnées curvilignes dans le plan
. La partition du plan décrite ci-dessus est telle que la fonction
affiche chacun des secteurs sur tout le plan. La description du mappage direct et inverse ressemble à ceci

Donc la fonction
Il a diverses fonctions inverses,

spécifié dans divers secteurs de l'avion

Dans de tels cas, la cartographie est dite multi-feuilles.

Fonction Joukovski

La fonction a son propre nom, puisqu'elle constitue la base de la théorie de l'aile d'avion créée par Joukovski (une description de cette conception peut être trouvée dans le livre). La fonction a un certain nombre de propriétés intéressantes, concentrons-nous sur l'une d'entre elles : découvrez sur quels ensembles cette fonction agit de manière individuelle. Considérez l'égalité

, où
.

Par conséquent, la fonction Joukovski est biunivoque dans tout domaine dans lequel, pour tout Et leur produit n'est pas égal à un. Il s'agit par exemple du cercle unité ouvert
et le complément du cercle unité fermé
.

Considérons l'action de la fonction Joukovski sur un cercle, puis

En séparant les parties réelles et imaginaires, on obtient l'équation paramétrique de l'ellipse

,
.

Si
, alors ces ellipses remplissent tout le plan. On peut vérifier de manière similaire que les images des segments sont des hyperboles

Fonction exponentielle

La fonction peut être étendue en une série de puissances absolument convergente dans tout le plan complexe, elle est donc différentiable partout. Décrivons les ensembles sur lesquels la fonction est bijective. Une égalité évidente
montre que le plan peut être divisé en une famille de bandes, dont chacune est mappée une à une par une fonction sur l'ensemble du plan complexe. Cette partition est essentielle pour comprendre le fonctionnement de la fonction inverse, plus précisément fonctions inverses. Sur chacune des bandes se trouve une cartographie inverse naturellement définie

La fonction inverse dans ce cas est également multivalente et le nombre de fonctions inverses est infini.

La description géométrique de la cartographie est assez simple : des lignes droites
se transformer en rayons
, segments

se transformer en cercles
.

Fonctions d'une variable complexe.
Différenciation des fonctions d'une variable complexe.

Cet article commence une série de leçons dans lesquelles je vais examiner tâches typiques, lié à la théorie des fonctions d'une variable complexe. Pour réussir à maîtriser les exemples, vous devez avoir des connaissances de base sur les nombres complexes. Afin de consolider et de répéter le matériel, il suffit de visiter la page. Vous aurez également besoin des compétences nécessaires pour trouver dérivées partielles du second ordre. Les voici, ces dérivées partielles... même maintenant, j'étais un peu surpris de la fréquence à laquelle elles se produisent...

Le sujet que nous commençons à examiner ne présente pas de difficultés particulières, et dans les fonctions d'une variable complexe, en principe, tout est clair et accessible. L'essentiel est de respecter la règle de base que j'ai dérivée expérimentalement. Continuer à lire!

Notion de fonction d'une variable complexe

Tout d'abord, rafraîchissons nos connaissances sur la fonction d'école d'une variable :

Fonction variable unique est une règle selon laquelle chaque valeur de la variable indépendante (du domaine de définition) correspond à une et une seule valeur de la fonction. Naturellement, « x » et « y » sont des nombres réels.

Dans le cas complexe, la dépendance fonctionnelle se précise de la même manière :

Fonction à valeur unique d'une variable complexe- c'est la règle selon laquelle tout le monde complet la valeur de la variable indépendante (du domaine de définition) correspond à un et un seul complet valeur de la fonction. La théorie prend également en compte les fonctions à valeurs multiples et certains autres types de fonctions, mais par souci de simplicité, je me concentrerai sur une définition.

Quelle est la différence entre une fonction variable complexe ?

La principale différence : les nombres complexes. Je ne suis pas ironique. De telles questions laissent souvent les gens dans la stupeur ; à la fin de l’article, je vais vous raconter une histoire amusante. À la leçon Nombres complexes pour les nuls nous avons considéré un nombre complexe sous la forme . Depuis, la lettre « z » est devenue variable, alors nous le noterons comme suit : , tandis que « x » et « y » peuvent prendre des valeurs différentes valide significations. En gros, la fonction d'une variable complexe dépend des variables et , qui prennent des valeurs « ordinaires ». De ce fait découle logiquement le point suivant :

La fonction d’une variable complexe peut s’écrire :
, où et sont deux fonctions de deux valide variables.

La fonction s'appelle partie réelle les fonctions
La fonction s'appelle partie imaginaire les fonctions

Autrement dit, la fonction d'une variable complexe dépend de deux fonctions réelles et . Pour enfin tout clarifier, regardons des exemples pratiques :

Exemple 1

Solution: La variable indépendante « zet », comme vous vous en souvenez, s'écrit sous la forme , donc :

(1) Nous avons remplacé .

(2) Pour le premier terme, la formule de multiplication abrégée a été utilisée. Dans le terme, les parenthèses ont été ouvertes.

(3) Équarri soigneusement, sans oublier que

(4) Réarrangement des termes : nous réécrivons d'abord les termes , dans lequel il n'y a pas d'unité imaginaire(premier groupe), puis les termes là où il y en a (deuxième groupe). Il convient de noter qu’il n’est pas nécessaire de mélanger les termes et que cette étape peut être ignorée (en la faisant oralement).

(5) Pour le deuxième groupe, nous le retirons des parenthèses.

En conséquence, notre fonction s’est avérée être représentée sous la forme

Répondre:
– une véritable partie de la fonction.
– partie imaginaire de la fonction.

De quel genre de fonctions s’agissait-il? Les fonctions les plus ordinaires de deux variables parmi lesquelles vous pouvez trouver des fonctions aussi populaires dérivées partielles. Sans pitié, nous le trouverons. Mais un peu plus tard.

En bref, l'algorithme du problème résolu peut s'écrire comme suit : on substitue , dans la fonction originale, on effectue des simplifications et on divise tous les termes en deux groupes - sans unité imaginaire (partie réelle) et avec une unité imaginaire (partie imaginaire) .

Exemple 2

Trouver la partie réelle et imaginaire de la fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Avant de vous lancer dans la bataille sur un plan complexe avec vos pions tirés au sort, laissez-moi vous en donner le plus. conseil important sur ce sujet:

SOIS PRUDENT! Bien sûr, vous devez être prudent partout, mais dans les nombres complexes, vous devriez être plus prudent que jamais ! N'oubliez pas qu'en ouvrant soigneusement les supports, vous ne perdrez rien. D'après mes observations, l'erreur la plus courante est la perte d'un signe. Ne te presse pas!

Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Maintenant le cube. En utilisant la formule de multiplication abrégée, nous obtenons :
.

Les formules sont très pratiques à utiliser dans la pratique, car elles accélèrent considérablement le processus de résolution.

Différenciation des fonctions d'une variable complexe.

J'ai deux nouvelles : une bonne et une mauvaise. Je vais commencer par le bon. Pour une fonction d'une variable complexe, les règles de différenciation et le tableau des dérivées des fonctions élémentaires sont valables. Ainsi, la dérivée se prend exactement de la même manière que dans le cas d'une fonction d'une variable réelle.

La mauvaise nouvelle est que pour de nombreuses fonctions variables complexes, il n'y a pas de dérivée du tout et vous devez trouver est-ce différentiable une fonction ou une autre. Et « comprendre » ce que ressent votre cœur est associé à des problèmes supplémentaires.

Considérons la fonction d'une variable complexe. Pour cette fonctionétait différentiable nécessaire et suffisant :

1) Pour que des dérivées partielles du premier ordre existent. Oubliez tout de suite ces notations, puisque dans la théorie des fonctions d'une variable complexe une notation différente est traditionnellement utilisée : .

2) Pour remplir ce qu'on appelle Conditions de Cauchy-Riemann:

Ce n'est que dans ce cas que la dérivée existera !

Exemple 3

Solution se divise en trois étapes successives :

1) Trouvons les parties réelles et imaginaires de la fonction. Cette tâche a été abordée dans les exemples précédents, je vais donc l'écrire sans commentaire :

Depuis lors:

Ainsi:

– partie imaginaire de la fonction.

Je vais m'arrêter à un dernier point technique: dans quel ordreécrire les termes dans les parties réelle et imaginaire ? Oui, en principe, cela n'a pas d'importance. Par exemple, la partie réelle peut s'écrire ainsi : , et l'imaginaire – comme ceci : .

2) Vérifions la réalisation des conditions de Cauchy-Riemann. Il y a deux d'entre eux.

Commençons par vérifier l'état. Nous trouvons dérivées partielles:

La condition est donc satisfaite.

Bien entendu, la bonne nouvelle est que les dérivées partielles sont presque toujours très simples.

On vérifie la réalisation de la deuxième condition :

Le résultat est le même, mais avec des signes opposés, c'est-à-dire que la condition est également remplie.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites, donc la fonction est différentiable.

3) Trouvons la dérivée de la fonction. La dérivée est également très simple et se trouve selon les règles habituelles :

L'unité imaginaire est considérée comme une constante lors de la différenciation.

Répondre: – partie réelle, – partie imaginaire.
Les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites, .

Il existe deux autres façons de trouver la dérivée, elles sont bien sûr utilisées moins fréquemment, mais les informations seront utiles pour comprendre la deuxième leçon - Comment trouver une fonction d'une variable complexe ?

La dérivée peut être trouvée en utilisant la formule :

Dans ce cas:

Ainsi

Nous devons résoudre le problème inverse : dans l'expression résultante, nous devons isoler . Pour ce faire, il faut dans les termes et hors parenthèses :

L'action inverse, comme beaucoup l'ont remarqué, est un peu plus difficile à réaliser ; pour vérifier, il est toujours préférable de prendre l'expression sur un brouillon ou d'ouvrir oralement les parenthèses, en s'assurant que le résultat est exactement le même.

Formule miroir pour trouver la dérivée :

Dans ce cas: , C'est pourquoi:

Exemple 4

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Si les conditions de Cauchy-Riemann sont remplies, trouvez la dérivée de la fonction.

Solution rapide et un échantillon approximatif de la conception finale à la fin de la leçon.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont-elles toujours satisfaites ? Théoriquement, ils ne se réalisent pas plus souvent qu’ils ne le sont. Mais dans des exemples pratiques, je ne me souviens pas d'un cas où elles n'étaient pas remplies =) Ainsi, si vos dérivées partielles « ne convergent pas », alors avec une très forte probabilité, vous pouvez dire que vous avez fait une erreur quelque part.

Compliquons nos fonctions :

Exemple 5

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Calculer

Solution: L'algorithme de solution est entièrement conservé, mais à la fin un nouveau point sera ajouté : trouver la dérivée en un point. Pour le cube, la formule requise a déjà été dérivée :

Définissons les parties réelles et imaginaires de cette fonction :

Attention et attention encore !

Depuis lors:

Ainsi:
– partie réelle de la fonction ;
– partie imaginaire de la fonction.

Vérification de la deuxième condition :

Le résultat est le même, mais avec des signes opposés, c'est-à-dire que la condition est également remplie.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites, donc la fonction est différentiable :

Calculons la valeur de la dérivée au point requis :

Répondre:, , les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites,

Les fonctions avec des cubes sont courantes, voici donc un exemple pour renforcer :

Exemple 6

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Calculer.

Solution et exemple de finition en fin de cours.

Dans la théorie de l'analyse complexe, d'autres fonctions d'un argument complexe sont également définies : exposant, sinus, cosinus, etc. Ces fonctions ont des propriétés inhabituelles, voire bizarres - et c'est vraiment intéressant ! Je veux vraiment vous le dire, mais ici, en l'occurrence, il ne s'agit pas d'un ouvrage de référence ou d'un manuel, mais d'un livre de solutions, je vais donc examiner le même problème avec certaines fonctions communes.

Tout d'abord à propos de ce qu'on appelle Les formules d'Euler:

Pour tout le monde valide nombres, les formules suivantes sont valides :

Vous pouvez également le copier dans votre cahier comme document de référence.

À proprement parler, il n'y a qu'une seule formule, mais généralement, pour plus de commodité, ils écrivent également un cas particulier avec un moins dans l'exposant. Le paramètre ne doit pas nécessairement être une seule lettre ; il peut s'agir d'une expression ou d'une fonction complexe, il est seulement important qu'ils acceptent seulement valable significations. En fait, nous allons voir ceci maintenant :

Exemple 7

Trouvez la dérivée.

Solution: La ligne générale du parti reste inébranlable : il faut distinguer les parties réelles et imaginaires de la fonction. je t'apporterai solution détaillée, et ci-dessous je commenterai chaque étape :

Depuis lors:

(1) Remplacez « z » à la place.

(2) Après substitution, vous devez sélectionner les parties réelles et imaginaires premier dans l'indicateur exposants. Pour ce faire, ouvrez les crochets.

(3) Nous regroupons la partie imaginaire de l'indicateur en plaçant l'unité imaginaire hors parenthèses.

(4) Nous utilisons l'action scolaire avec des diplômes.

(5) Pour le multiplicateur nous utilisons la formule d’Euler, et .

(6) Ouvrez les supports, ce qui donne :

– partie réelle de la fonction ;
– partie imaginaire de la fonction.

D’autres actions sont standards ; vérifions le respect des conditions de Cauchy-Riemann :

Exemple 9

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Qu’il en soit ainsi, nous ne trouverons pas la dérivée.

Solution: L'algorithme de solution est très similaire aux deux exemples précédents, mais il y a des points très importants, je vais donc à nouveau commenter l'étape initiale étape par étape :

Depuis lors:

1) Remplacez « z » à la place.

(2) Tout d'abord, nous sélectionnons les parties réelles et imaginaires à l'intérieur du sinus. À ces fins, nous ouvrons les parenthèses.

(3) Nous utilisons la formule, et .

(4) Utilisation parité du cosinus hyperbolique: Et bizarrerie du sinus hyperbolique: . Les hyperboliques, bien que hors de ce monde, rappellent à bien des égards des fonctions trigonométriques similaires.

Finalement:
– partie réelle de la fonction ;
– partie imaginaire de la fonction.

Attention! Le signe moins fait référence à la partie imaginaire, et il ne faut en aucun cas le perdre ! Pour une illustration claire, le résultat obtenu ci-dessus peut être réécrit comme suit :

Vérifions la réalisation des conditions de Cauchy-Riemann :

Les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites.

Répondre:, , les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites.

Mesdames et messieurs, découvrons-le par nous-mêmes :

Exemple 10

Déterminez les parties réelles et imaginaires de la fonction. Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann.

J'ai délibérément choisi des exemples plus difficiles, car tout le monde semble être capable de faire face à quelque chose, comme des cacahuètes décortiquées. Par la même occasion, vous entraînerez votre attention ! Casse-noix à la fin de la leçon.

Eh bien, en conclusion, j'en considérerai un de plus exemple intéressant, lorsque l'argument complexe est au dénominateur. C’est arrivé plusieurs fois dans la pratique, regardons quelque chose de simple. Eh, je vieillis...

Exemple 11

Déterminez les parties réelles et imaginaires de la fonction. Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann.

Solution: Encore une fois, il faut distinguer les parties réelles et imaginaires de la fonction.
Si donc

La question se pose, que faire lorsque « Z » est au dénominateur ?

Tout est simple - le standard vous aidera méthode de multiplication du numérateur et du dénominateur par l'expression conjuguée, il a déjà été utilisé dans les exemples de la leçon Nombres complexes pour les nuls. Rappelons la formule scolaire. Nous avons déjà le dénominateur, ce qui signifie que l'expression conjuguée sera . Ainsi, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur par :

Où
sont des nombres réels, et - un caractère spécial appelé unité imaginaire . Pour une unité imaginaire, on suppose par définition que
.

(4.1) – forme algébrique nombre complexe, et
appelé partie réelle nombre complexe, et
-partie imaginaire .

Nombre
appelé Conjugaison compliquée au numéro
.

Soit deux nombres complexes
,
.

1. Montant
nombres complexes Et s'appelle un nombre complexe

2. Par différence
nombres complexes Et s'appelle un nombre complexe

3. Le travail
nombres complexes Et s'appelle un nombre complexe

4. Privé de la division d'un nombre complexe à un nombre complexe
s'appelle un nombre complexe

Remarque 4.1. Autrement dit, les opérations sur les nombres complexes sont introduites selon les règles habituelles des opérations arithmétiques sur les expressions littérales en algèbre.

Exemple 4.1. Des nombres complexes sont donnés. Trouver

Solution. 1) .

4) En multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué complexe du dénominateur, on obtient

Forme trigonométrique nombre complexe:

Où
- module d'un nombre complexe,
est l'argument d'un nombre complexe. Coin pas de définition unique, jusqu'à un terme
:

,
.

- la valeur principale de l'argument, déterminée par la condition

, (ou
).

Formulaire démonstratif nombre complexe:

Racine
la puissance du nombre Il a différentes valeurs, trouvées par la formule

Où
.

Points correspondant aux valeurs
, sont les sommets du bon
un carré inscrit dans un cercle de rayon
avec centre à l'origine.

Exemple 4.2. Trouver toutes les valeurs racine
.

Solution. Imaginons un nombre complexe
sous forme trigonométrique :

, où
.

Alors
. Donc, d'après la formule (4.2)
a quatre significations :

,
.

Croire
, nous trouvons

,
,

, .

Ici, nous avons converti les valeurs de l'argument en sa valeur principale.

Ensembles sur le plan complexe

Nombre complexe
représenté sur un avion
point
avec coordonnées
. Module
et argumentation
correspondent aux coordonnées polaires du point
.

Il est utile de rappeler que les inégalités
définit un cercle dont le centre est un point rayon . Inégalité
définit un demi-plan situé à droite de la droite
, et l'inégalité
- demi-plan situé au dessus de la droite
. De plus, le système des inégalités
définit l'angle entre les rayons
Et
, en laissant l'origine des coordonnées.

Exemple 4.3. Dessinez l'aire définie par les inégalités :
.

Solution. La première inégalité correspond à un anneau de centre au point
et deux rayons 1 et 2, les cercles ne sont pas inclus dans la zone (Fig. 4.1).

La deuxième inégalité correspond à l'angle entre les rayons
(bissectrice du 4ème angle de coordonnées) et
(direction d'axe positive
). Les rayons eux-mêmes ne pénètrent pas dans la région (Fig. 4.2).

La zone souhaitée est l'intersection des deux zones obtenues (Fig. 4.3)

4.2. Fonctions d'une variable complexe

Laissez la fonction à valeur unique
défini et continu dans la région
, UN - courbe orientée fermée ou non fermée lisse par morceaux située dans
. Laissez, comme d'habitude,
,, Où
,
- fonctions réelles des variables Et .

Calculer l'intégrale d'une fonction
variable complexe se réduit au calcul des intégrales curvilignes habituelles, à savoir

Si la fonction
analytique dans un domaine simplement connecté
, contenant des points Et , alors la formule de Newton-Leibniz est valable :

Où
- une primitive pour la fonction
, c'est
dans la zone
.

Dans les intégrales de fonctions d'une variable complexe, on peut effectuer un changement de variable, et l'intégration par parties est similaire à la façon dont elle est effectuée lors du calcul des intégrales de fonctions d'une variable réelle.

Notez également que si le chemin d'intégration fait partie d'une ligne émanant d'un point , ou partie d'un cercle centré en un point , alors il est utile de faire un remplacement variable de la forme
. Dans le premier cas
, UN - variable d'intégration réelle ; dans le deuxième cas
, UN - variable d'intégration réelle.

Exemple 4.4. Calculer
par parabole
du point
jusqu'au point
(Figure 4.4).

Solution. Réécrivons l'intégrande sous la forme

Alors
,
. Appliquons la formule (4.3) :

Parce que
, Que
,
. C'est pourquoi

Exemple 4.5. Calculer l'intégrale
, Où - arc de cercle
,
(Fig. 4.5) .

Solution. Disons
, Alors
,
,
. On a:

Fonction
, à valeur unique et analytique dans l'anneau
, se décompose dans cet anneau en Série Laurent

Dans la formule (4.5) la série
appelé partie principale La série de Laurent, et la série
appelé la bonne partie Série Laurent.

Définition 4.1. Point appelépoint singulier isolé les fonctions
, s'il existe un voisinage de ce point dans lequel la fonction
analytique partout sauf le point lui-même .

Fonction
à proximité d'un point peut être étendu à une série Laurent. Dans ce cas, trois cas différents sont possibles lorsque la série Laurent :

1) ne contient pas de termes avec des puissances de différence négatives
, c'est

(La série de Laurent ne contient pas la partie principale). Dans ce cas appelé point singulier amovible les fonctions
;

2) contient un nombre fini de termes avec des puissances de différence négatives
, c'est

et
. Dans ce cas, le point appelé pôle d'ordre les fonctions
;

3) contient nombre infini termes avec des puissances négatives :

Dans ce cas, le point appelé essentiellement un point spécial les fonctions
.

Pour déterminer le caractère d'un point singulier isolé, il n'est pas nécessaire de rechercher un développement en série de Laurent. Vous pouvez utiliser diverses propriétés de points singuliers isolés.

1) est un point singulier amovible de la fonction
, s'il existe une limite finie de la fonction
à ce point :

2) est un pôle de la fonction
, Si

3) est un point essentiellement singulier de la fonction
, si à
une fonction n'a pas de limite, ni finie ni infinie.

Définition 4.2. Point appelézéro
Premier ordre (ou multiplicité ) les fonctions
, si les conditions suivantes sont remplies :

…,

.

Remarque 4.2. Point si et seulement si est nul
Premier ordre les fonctions
, quand dans un certain voisinage de ce point l'égalité est vraie

où est la fonction
analytique en un point Et

4) point est le pôle de l'ordre (
) les fonctions
, si ce point est d'ordre zéro pour la fonction
.

5) laissez - point singulier isolé d'une fonction
, Où
- fonctions analytiques en un point . Et laissez le point est d'ordre zéro les fonctions
et zéro commande les fonctions
.

À
point est le pôle de l'ordre
les fonctions
.

À
point est un point singulier amovible de la fonction
.

Exemple 4.6. Trouver des points isolés et déterminer leur type pour une fonction
.

Solution. Les fonctions
Et
- analytique dans tout le plan complexe. Cela signifie que les points singuliers de la fonction
sont les zéros du dénominateur, c'est-à-dire les points où
. Il existe une infinité de tels points. Tout d'abord, c'est le point
, ainsi que les points satisfaisant l'équation
. D'ici
Et
.

Considérez le point
. A ce stade, nous obtenons :

,
,

,
.

L'ordre de zéro est
.

,
,

,
.

Alors, point final
est un pôle du second ordre (
).

. Alors

,
.

L’ordre du numérateur zéro est
.

,
,
.

L'ordre de zéro du dénominateur est
. Par conséquent, les points
à
sont des pôles du premier ordre ( poteaux simples ).

Théorème 4.1. (Théorème de Cauchy sur les résidus ). Si la fonction
est analytique sur la frontière région
et partout à l'intérieur de la région, à l'exception d'un nombre fini de points singuliers
, Que

Lors du calcul des intégrales, il convient de trouver soigneusement tous les points singuliers de la fonction
, puis dessinez le contour et les points singuliers, puis sélectionnez uniquement les points qui se trouvent à l'intérieur du contour d'intégration. Faire le bon choix sans photo est souvent difficile.

Méthode de calcul de la déduction
dépend du type de point singulier. Par conséquent, avant de calculer le résidu, vous devez déterminer le type de point singulier.

1) résidu d'une fonction en un point égal au coefficient pour moins le premier degré dans le développement de Laurent
à proximité d'un point :

Cette affirmation est vraie pour tous les types de points isolés, et donc dans ce cas il n'est pas nécessaire de déterminer le type d'un point singulier.

2) le résidu en un point singulier amovible est égal à zéro.

3) si est un pôle simple (pôle du premier ordre), et la fonction
peut être représenté sous la forme
, Où
,
(notez que dans ce cas
), puis le résidu au point équivaut à

En particulier, si
, Que
.

4) si - simple poteau, alors

5) si - poteau
fonction d'ordre
, Que

Exemple 4.7. Calculer l'intégrale
.

Solution. Trouver les points singuliers de l'intégrande
. Fonction
a deux points singuliers
Et
Seul un point tombe à l'intérieur du contour
(Fig. 4.6). Point
- pôle du second ordre, puisque
est un zéro de multiple 2 pour la fonction
.