La suma de los primeros diez números de una progresión aritmética. La suma de una progresión aritmética. puedes familiarizarte con funciones y derivadas

Antes de que comencemos a decidir problemas de progresión aritmética, considere qué es una secuencia numérica, ya que una progresión aritmética es un caso especial de una secuencia numérica.

Una secuencia numérica es un conjunto numérico, cada elemento del cual tiene su propio número ordinal... Los elementos de este conjunto se denominan miembros de la secuencia. El número ordinal del elemento de secuencia está indicado por el índice:

El primer elemento de la secuencia;

Quinto elemento de la secuencia;

- elemento "n-ésimo" de la secuencia, es decir el artículo "en la cola" n.

Existe una relación entre el valor de un elemento de secuencia y su número ordinal. Por lo tanto, podemos pensar en una secuencia como una función cuyo argumento es el número ordinal de un elemento de la secuencia. En otras palabras, podemos decir que una secuencia es una función de un argumento natural:

La secuencia se puede configurar de tres formas:

1 . La secuencia se puede configurar mediante una tabla. En este caso, simplemente establecemos el valor de cada miembro de la secuencia.

Por ejemplo, Alguien decidió dedicarse a la gestión personal del tiempo y, para empezar, calcular cuánto tiempo dedica a VKontakte durante la semana. Anotando el tiempo en la tabla, recibirá una secuencia que consta de siete elementos:

La primera línea de la tabla contiene el número del día de la semana, la segunda, el tiempo en minutos. Vemos que, es decir, el lunes, Alguien pasó 125 minutos en VKontakte, es decir, el jueves - 248 minutos, y, es decir, el viernes, solo 15.

2 . La secuencia se puede especificar utilizando la fórmula del enésimo término.

En este caso, la dependencia del valor del elemento de secuencia de su número se expresa directamente en forma de fórmula.

Por ejemplo, si, entonces

Para encontrar el valor de un elemento de una secuencia con un número dado, sustituimos el número del elemento en la fórmula del enésimo término.

Hacemos lo mismo si necesitamos encontrar el valor de una función si se conoce el valor del argumento. En su lugar, sustituimos el valor del argumento en la ecuación de la función:

Si, por ejemplo, , luego

Una vez más, observo que en una secuencia, a diferencia de una función numérica arbitraria, solo un número natural puede ser un argumento.

3 ... Una secuencia se puede especificar usando una fórmula que expresa la dependencia del valor del miembro de secuencia numerado del valor de los miembros anteriores. En este caso, no es suficiente que sepamos solo el número del miembro de la secuencia para encontrar su valor. Necesitamos especificar el primer miembro o los primeros miembros de la secuencia.

Por ejemplo, considere la secuencia ,

Podemos encontrar los valores de los miembros de la secuencia. en secuencia comenzando con el tercero:

Es decir, cada vez que, para encontrar el valor del n-ésimo miembro de la secuencia, volvemos a los dos anteriores. Esta forma de secuenciación se llama recurrente, de la palabra latina recurro- Vuelve.

Ahora podemos definir una progresión aritmética. La progresión aritmética es un caso especial simple de una secuencia numérica.

Progresión aritmética se llama una secuencia numérica, cada miembro de la cual, a partir del segundo, es igual al anterior, sumado al mismo número.

El número se llama diferencia de progresión aritmética... La diferencia en la progresión aritmética puede ser positiva, negativa o cero.

Si título = "(! LANG: d> 0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} creciente.

Por ejemplo, 2; 5; ocho; once;...

Si, entonces cada miembro de la progresión aritmética es menor que el anterior, y la progresión es menguante.

Por ejemplo, 2; -1; -4; -7; ...

Si, entonces todos los miembros de la progresión son iguales al mismo número, y la progresión es estacionario.

Por ejemplo, 2; 2; 2; 2; ...

La principal propiedad de la progresión aritmética:

Miremos la foto.

Vemos eso

, y al mismo tiempo

Sumando estas dos igualdades, obtenemos:

.

Divida ambos lados de la igualdad por 2:

Entonces, cada miembro de la progresión aritmética, comenzando desde el segundo, es igual a la media aritmética de dos vecinos:

Además, dado que

, y al mismo tiempo

, luego

, y por lo tanto

Cada miembro de la progresión aritmética que comienza con title = "(! LANG: k> l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Fórmula del miembro th.

Vemos que para los miembros de la progresión aritmética se cumplen las siguientes relaciones:

y finalmente

Tenemos la fórmula del enésimo término.

¡IMPORTANTE! Cualquier miembro de la progresión aritmética se puede expresar en términos de y. Conociendo el primer término y la diferencia de la progresión aritmética, puedes encontrar cualquiera de sus términos.

La suma de n miembros de una progresión aritmética.

En una progresión aritmética arbitraria, las sumas de los miembros equidistantes del extremo son iguales entre sí:

Considere una progresión aritmética con n términos. Sea la suma de n miembros de esta progresión.

Organicemos los miembros de la progresión primero en orden ascendente de números y luego en orden descendente:

Agreguemos en pares:

La suma en cada paréntesis es igual, el número de pares es n.

Obtenemos:

Entonces, la suma de n términos de una progresión aritmética se puede encontrar mediante las fórmulas:

Considerar resolver problemas de progresión aritmética.

1 . La secuencia viene dada por la fórmula del enésimo término: . Demuestre que esta secuencia es una progresión aritmética.

Demostremos que la diferencia entre dos miembros adyacentes de la secuencia es igual al mismo número.

Conseguimos que la diferencia entre dos miembros adyacentes de la secuencia no depende de su número y es constante. Por lo tanto, por definición, esta secuencia es una progresión aritmética.

2 . Se le da una progresión aritmética -31; -27; ...

a) Encuentra 31 miembros de la progresión.

b) Determine si el número 41 está incluido en esta progresión.

a) Vemos eso;

Escribamos la fórmula del enésimo término de nuestra progresión.

En general

En nuestro caso , por lo tanto

La suma de una progresión aritmética.

La suma de una progresión aritmética es algo simple. Tanto en significado como en fórmula. Pero hay todo tipo de tareas sobre este tema. De elemental a bastante sólido.

Primero, averigüemos el significado y la fórmula de la suma. Y luego lo arreglaremos. Para tu placer.) El significado de la suma es simple, como un zumbido. Para encontrar la suma de una progresión aritmética, solo necesita agregar cuidadosamente todos sus miembros. Si estos términos son pocos, puede agregar sin fórmulas. Pero si hay mucho, o mucho ... la suma es molesta.) En este caso, la fórmula ahorra.

La fórmula de la suma parece simple:

Averigüemos qué letras se incluyen en la fórmula. Esto aclarará mucho.

S n - la suma de la progresión aritmética. Resultado de la suma de todo miembros con el primero sobre último. Es importante. Sume exactamente todos miembros en fila, sin espacios ni saltos. Y, es decir, comenzando con primero. En tareas como encontrar la suma del tercer y octavo términos, o la suma del quinto al vigésimo términos, la aplicación directa de la fórmula será decepcionante).

un 1 - primero miembro de la progresión. Todo está claro aquí, es simple. primero numero de fila.

un- último miembro de la progresión. El último número de la fila. No es un nombre muy familiar, pero, aplicado a la cantidad, resulta incluso muy adecuado. Entonces lo verás por ti mismo.

norte - el número del último miembro. Es importante entender que en la fórmula este número coincide con el número de miembros añadidos.

Definamos el concepto el último miembro un... Pregunta de relleno: qué miembro será el último si se da interminable¿progresión aritmética?)

Para obtener una respuesta segura, debe comprender el significado elemental de la progresión aritmética y ... ¡lea la tarea con atención!)

En la tarea de encontrar la suma de una progresión aritmética, siempre aparece el último término (directa o indirectamente), que debería ser limitado. De lo contrario, la cantidad final y específica simplemente no existe. Para la solución, no importa qué progresión se dé: finita o infinita. No importa cómo se establezca: por un número de números o por la fórmula del enésimo término.

Lo más importante es entender que la fórmula funciona desde el primer término de la progresión hasta el número c. norte. En realidad, el nombre completo de la fórmula se ve así: la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética. El número de estos primeros miembros, es decir norte, está determinada exclusivamente por la tarea. En la tarea, toda esta valiosa información suele estar encriptada, sí ... Pero nada, en los ejemplos a continuación desvelaremos estos secretos.)

Ejemplos de tareas para la suma de una progresión aritmética.

En primer lugar, alguna información útil:

La principal dificultad en las tareas para la suma de una progresión aritmética radica en la correcta determinación de los elementos de la fórmula.

Los autores de las tareas cifran estos mismos elementos con una imaginación ilimitada.) Lo principal aquí es no tener miedo. Entendiendo la esencia de los elementos, basta con descifrarlos. Echemos un vistazo más de cerca a algunos ejemplos. Comencemos con una tarea basada en un GIA real.

1. Una progresión aritmética se especifica mediante la condición: a n = 2n-3.5. Calcula la suma de sus primeros 10 miembros.

Buen trabajo. Fácil.) ¿Qué necesitamos saber para determinar la cantidad mediante la fórmula? Primer periodo un 1, ultimo plazo un, si el numero del ultimo miembro norte.

Dónde conseguir el número del último miembro norte? ¡Sí, ahí, en el estado! Dice: encuentra la cantidad primeros 10 miembros. Bueno, que numero sera último, décimo término?) No lo creerás, ¡su número es el décimo!) Entonces, en lugar de un en la fórmula sustituiremos un 10, y en lugar de norte- diez. Nuevamente, el número del último miembro es el mismo que el número de miembros.

Queda por definir un 1 y un 10... Es fácil de calcular mediante la fórmula del enésimo término, que se da en el enunciado del problema. ¿No estás seguro de cómo hacer esto? Visite la lección anterior, sin ella, nada.

un 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

un 10= 210 - 3,5 = 16,5

S n = S 10.

Descubrimos el significado de todos los elementos de la fórmula para la suma de una progresión aritmética. Queda por sustituirlos, y contar:

Eso es todo al respecto. Respuesta: 75.

Otra tarea basada en el GIA. Un poco más complicado:

2. Se le da una progresión aritmética (an), cuya diferencia es 3.7; a 1 = 2,3. Calcula la suma de sus primeros 15 miembros.

Inmediatamente escribimos la fórmula para la cantidad:

Esta fórmula nos permite encontrar el valor de cualquier miembro por su número. Buscamos una sustitución sencilla:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Queda por sustituir todos los elementos de la fórmula por la suma de la progresión aritmética y calcular la respuesta:

Respuesta: 423.

Por cierto, si en la fórmula la suma en lugar de un simplemente sustituya la fórmula por el enésimo término, obtenemos:

Damos similares, obtenemos una nueva fórmula para la suma de los miembros de una progresión aritmética:

Como puede ver, el enésimo término no es necesario aquí. un... En algunas tareas, esta fórmula ayuda mucho, sí ... Puedes recordar esta fórmula. O simplemente puede mostrarlo en el momento adecuado, como aquí. Después de todo, la fórmula para la suma y la fórmula para el enésimo término deben recordarse en todos los sentidos).

Ahora la tarea tiene la forma de un cifrado corto):

3. Calcula la suma de todos los números positivos de dos dígitos divisibles por tres.

¡Cómo! Ni el primer miembro, ni el último, ni la progresión en absoluto ... ¿¡Cómo vivir !?

Tienes que pensar con la cabeza y extraer todos los elementos de la suma de la progresión aritmética de la condición. Sabemos qué son los números de dos dígitos. Consisten en dos dígitos.) ¿Qué número de dos dígitos será el primero? 10, supongo.) última cosa número de dos dígitos? 99, ¡por supuesto! Le seguirán unos de tres dígitos ...

Múltiplos de tres ... Hm ... ¡Estos son números que son incluso divisibles por tres, aquí! Diez no es divisible por tres, 11 no es divisible ... 12 ... ¡es divisible! Entonces, algo se avecina. Ya es posible anotar una serie por la condición del problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

¿Será esta serie una progresión aritmética? ¡Por supuesto! Cada miembro se diferencia del anterior estrictamente en tres. Si sumamos 2 o 4 al término, digamos, el resultado, es decir el nuevo número ya no se dividirá por completo entre 3. En el montón, puede determinar inmediatamente la diferencia de la progresión aritmética: d = 3.¡Sera util!)

Entonces, puede escribir con seguridad algunos parámetros de la progresión:

Cual sera el numero norteúltimo miembro? Cualquiera que piense que 99 está fatalmente equivocado ... Números - siempre van en una fila, y nuestros miembros saltan por encima de los tres primeros. No coinciden.

Hay dos soluciones. Una forma es para los súper trabajadores. Puede pintar la progresión, toda la serie de números y contar el número de miembros con el dedo). La segunda forma es para los reflexivos. Necesitamos recordar la fórmula para el enésimo término. Si aplicamos la fórmula a nuestro problema, obtenemos que 99 es el trigésimo término de la progresión. Aquellos. n = 30.

Observamos la fórmula para la suma de una progresión aritmética:

Miramos y estamos contentos). Sacamos todo lo necesario para calcular la cantidad del enunciado del problema:

un 1= 12.

un 30= 99.

S n = S 30.

Queda la aritmética elemental. Sustituimos números en la fórmula y contamos:

Respuesta: 1665

Otro tipo de rompecabezas populares:

4. Se da una progresión aritmética:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Encuentre la suma de los miembros del vigésimo al trigésimo cuarto.

Miramos la fórmula de la suma y ... nos enojamos.) La fórmula, déjame recordarte, calcula la suma desde el principio miembro. Y en el problema necesitas calcular la suma. desde el vigésimo ... La fórmula no funcionará.

Por supuesto, puede pintar toda la progresión en una fila y agregar miembros del 20 al 34. Pero ... de alguna manera es estúpido y lleva mucho tiempo, ¿verdad?)

Hay una solución más elegante. Dividamos nuestra fila en dos partes. La primera parte será desde el primer miembro hasta el decimonoveno. Segunda parte - del vigésimo al trigésimo cuarto. Está claro que si calculamos la suma de los miembros de la primera parte S 1-19, sí sumamos con la suma de los términos de la segunda parte S 20-34, obtenemos la suma de la progresión desde el primer trimestre hasta el trigésimo cuarto S 1-34... Como esto:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Esto muestra que para encontrar la suma S 20-34 puede ser una simple resta

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Se consideran ambas cantidades del lado derecho desde el principio miembro, es decir la fórmula de la suma estándar es bastante aplicable a ellos. ¿Empezando?

Sacamos los parámetros de la progresión del enunciado del problema:

d = 1,5.

un 1= -21,5.

Para calcular las sumas de los primeros 19 y los primeros 34 miembros, necesitaremos los miembros 19 y 34. Los contamos según la fórmula del enésimo término, como en el problema 2:

un 19= -21,5 + (19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 + (34-1) 1,5 = 28

No queda nada. Reste 19 miembros del total de 34 miembros:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Respuesta: 262,5

¡Una nota importante! Hay un truco muy útil para resolver este problema. En lugar de liquidación directa lo que necesitas (S 20-34), contamos lo que, al parecer, no es necesario - S 1-19. Y solo entonces decidieron y S 20-34, descartando lo innecesario del resultado completo. Este "truco de los oídos" a menudo salva en tareas malvadas).

En esta lección, examinamos los problemas, para cuya solución es suficiente comprender el significado de la suma de una progresión aritmética. Bueno, necesitas saber un par de fórmulas).

Consejo practico:

Al resolver cualquier problema para la suma de una progresión aritmética, recomiendo escribir inmediatamente dos fórmulas principales de este tema.

La fórmula para el enésimo término es:

Estas fórmulas le dirán inmediatamente qué buscar, en qué dirección pensar para resolver el problema. Ayuda.

Y ahora las tareas de solución independiente.

5. Calcula la suma de todos los números de dos dígitos que no son divisibles por tres.

¿Genial?) La sugerencia está oculta en la nota de la tarea 4. Bueno, la tarea 3 ayudará.

6. La progresión aritmética se especifica mediante la condición: a 1 = -5,5; una n + 1 = una n +0,5. Calcula la suma de los primeros 24 miembros.

¿Inusual?) Esta es una fórmula recursiva. Puedes leer sobre esto en la lección anterior. No ignore el enlace, estas tareas se encuentran a menudo en el GIA.

7. Vasya ha ahorrado dinero para las vacaciones. ¡Hasta 4550 rublos! Y decidí regalarle a mi persona más querida (yo mismo) unos días de felicidad). Vivir bellamente, sin negarte nada. ¡Gaste 500 rublos el primer día y 50 rublos más cada día siguiente que el anterior! Hasta que se acabe la oferta de dinero. ¿Cuántos días de felicidad tuvo Vasya?

¿Difícil?) Una fórmula adicional del problema 2 ayudará.

Respuestas (en desorden): 7, 3240, 6.

Si te gusta este sitio ...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y conocer tu nivel. Prueba de validación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Respuesta: la fila diverge.

Ejemplo n ° 3

Encuentra la suma de la serie $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $.

Dado que el límite inferior de la suma es 1, el término común de la serie se escribe bajo el signo de suma: $ u_n = \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $. Compongamos la enésima suma parcial de la serie, es decir Resumamos los primeros $ n $ miembros de una serie numérica determinada:

$$ S_n = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + \ ldots + u_n = \ frac (2) (3 \ cdot 5) + \ frac (2) (5 \ cdot 7) + \ frac (2) (7 \ cdot 9) + \ frac (2) (9 \ cdot 11) + \ ldots + \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)). $$

Por qué escribo exactamente $ \ frac (2) (3 \ cdot 5) $, y no $ \ frac (2) (15) $, quedará claro a partir de la narración posterior. Sin embargo, registrar una cantidad parcial no nos acercó ni un ápice a nuestro objetivo. Necesitamos encontrar $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $, pero si solo escribimos:

$$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n = \ lim_ (n \ to \ infty) \ left (\ frac (2) (3 \ cdot 5) + \ frac (2) (5 \ cdot 7) + \ frac (2) (7 \ cdot 9) + \ frac (2) (9 \ cdot 11) + \ ldots + \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) \ right), $$

entonces este registro, completamente correcto en su forma, no nos dará nada en esencia. Para encontrar el límite, primero se debe simplificar la expresión de la suma parcial.

Para ello, existe una transformación estándar, que consiste en expandir la fracción $ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $, que representa el término común de la serie, en fracciones elementales. Se dedica un tema aparte a la cuestión de la descomposición de fracciones racionales en elementales (ver, por ejemplo, el ejemplo n. ° 3 en esta página). Expandiendo la fracción $ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $ en fracciones elementales, tendremos:

$$ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) = \ frac (A) (2n + 1) + \ frac (B) (2n + 3) = \ frac (A \ cdot (2n) +3) + B \ cdot (2n + 1)) ((2n + 1) (2n + 3)). $$

Igualamos los numeradores de las fracciones en los lados izquierdo y derecho de la igualdad resultante:

$$ 2 = A \ cdot (2n + 3) + B \ cdot (2n + 1). $$

Hay dos formas de encontrar los valores de $ A $ y $ B $. Puede expandir los paréntesis y reorganizar los términos, o simplemente puede sustituir algunos valores adecuados por $ n $. Estrictamente para variar, en este ejemplo tomaremos el primer camino y el siguiente: sustituiremos los valores particulares de $ n $. Al expandir los corchetes y reorganizar los términos, obtenemos:

$$ 2 = 2An + 3A + 2Bn + B; \\ 2 = (2A + 2B) n + 3A + B. $$

Hay un cero en el lado izquierdo de la igualdad antes de $ n $. Si lo desea, para mayor claridad, el lado izquierdo de la igualdad se puede representar como $ 0 \ cdot n + 2 $. Dado que en el lado izquierdo de la igualdad antes de $ n $ hay cero, y en el lado derecho de la igualdad antes de $ n $ hay $ 2A + 2B $, tenemos la primera ecuación: $ 2A + 2B = 0 $. Inmediatamente dividimos ambos lados de esta ecuación por 2, después de lo cual obtenemos $ A + B = 0 $.

Dado que en el lado izquierdo de la igualdad el término libre es igual a 2, y en el lado derecho de la igualdad el término libre es igual a $ 3A + B $, entonces $ 3A + B = 2 $. Entonces, tenemos un sistema:

$$ \ left \ (\ begin (alineado) & A + B = 0; \\ & 3A + B = 2. \ end (alineado) \ right. $$

La demostración se realizará por el método de inducción matemática. En el primer paso, es necesario verificar si la igualdad que se está probando es válida: $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ para $ n = 1 $. Sabemos que $ S_1 = u_1 = \ frac (2) (15) $, pero la expresión $ \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ dará el valor $ \ frac ( 2) (15) $, si sustituye $ n = 1 $? Vamos a revisar:

$$ \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2 \ cdot 1 + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (5) = \ frac (5-3) (15) = \ frac (2) (15). $$

Entonces, para $ n = 1 $, la igualdad $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ se cumple. Esto completa el primer paso del método de inducción matemática.

Suponga que para $ n = k $ se cumple la igualdad, es decir, $ S_k = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) $. Demostremos que la misma igualdad es válida para $ n = k + 1 $. Para hacer esto, considere $ S_ (k + 1) $:

$$ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1). $$

Dado que $ u_n = \ frac (1) (2n + 1) - \ frac (1) (2n + 3) $, entonces $ u_ (k + 1) = \ frac (1) (2 (k + 1) + 1 ) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) = \ frac (1) (2k + 3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) $. De acuerdo con el supuesto anterior, $ S_k = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) $, por lo tanto, la fórmula $ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1) $ toma la forma:

$$ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) + \ frac (1) (2k + 3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3). $$

Conclusión: la fórmula $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ es correcta para $ n = k + 1 $. Por lo tanto, de acuerdo con el método de inducción matemática, la fórmula $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ es verdadera para cualquier $ n \ en N $. La igualdad está probada.

En el curso estándar de matemáticas superiores, por lo general se sienten satisfechos con "tachar" los términos de cancelación sin requerir ninguna prueba. Entonces, obtuvimos la expresión para la enésima suma parcial: $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $. Encuentre el valor de $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $:

Conclusión: la serie dada converge y su suma es $ S = \ frac (1) (3) $.

La segunda forma de simplificar la fórmula para la suma parcial.

Para ser honesto, yo mismo prefiero este método :) Escribamos la suma parcial en forma abreviada:

$$ S_n = \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) u_k = \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)). $$

Tenemos antes que $ u_k = \ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) $, entonces:

$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ left (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ right). $$

La suma $ S_n $ contiene un número finito de términos, por lo que podemos reorganizarlos como queramos. Primero quiero sumar todos los términos de la forma $ \ frac (1) (2k + 1) $, y solo luego ir a los términos de la forma $ \ frac (1) (2k + 3) $. Esto significa que representaremos el monto parcial de la siguiente forma:

$$ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (5) + \ frac (1) (5) - \ frac (1) (7) + \ frac (1) (7) - \ frac (1) (9) + \ frac (1) (9) - \ frac (1) (11) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 1) - \ frac (1) (2n + 3) = \\ = \ frac (1) (3) + \ frac (1) (5) + \ frac (1) (7) + \ frac (1) (9) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 1) - \ left (\ frac (1) (5) + \ frac (1) (7) + \ frac (1) (9) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 3) \ right) . $$

Por supuesto, la notación expandida es extremadamente inconveniente, por lo que la igualdad presentada anteriormente se puede formatear de manera más compacta:

$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ left (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ right) = \ sum \ limits_ ( k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3). $$

Ahora transformamos las expresiones $ \ frac (1) (2k + 1) $ y $ \ frac (1) (2k + 3) $ a la misma forma. Creo que conviene reducirlo a una fracción mayor (aunque es posible reducirlo, esto es cuestión de gustos). Dado que $ \ frac (1) (2k + 1)> \ frac (1) (2k + 3) $ (cuanto mayor es el denominador, menor es la fracción), entonces reduciremos la fracción $ \ frac (1) (2k + 3) $ a la forma $ \ frac (1) (2k + 1) $.

Representaré la expresión en el denominador de la fracción $ \ frac (1) (2k + 3) $ de la siguiente manera:

$$ \ frac (1) (2k + 3) = \ frac (1) (2k + 2 + 1) = \ frac (1) (2 (k + 1) +1). $$

Y la suma $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) $ ahora se puede escribir así:

$$ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) ) +1) = \ suma \ límites_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1). $$

Si la igualdad $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $ no genera preguntas, entonces vayamos más allá. Si tiene alguna pregunta, expanda la nota.

¿Cómo obtuvimos la cantidad convertida? mostrar ocultar

Teníamos una fila $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 ( k + 1) +1) $. Introduzcamos una nueva variable en lugar de $ k + 1 $, por ejemplo, $ t $. Entonces, $ t = k + 1 $.

¿Cómo cambió la antigua variable $ k $? Y cambió de 1 a $ n $. Averigüemos cómo cambiará la nueva variable $ t $. Si $ k = 1 $, entonces $ t = 1 + 1 = 2 $. Si $ k = n $, entonces $ t = n + 1 $. Entonces, la expresión $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) $ ahora es $ \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n +1 ) \ frac (1) (2t + 1) $.

$$ \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) = \ suma \ límites_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1 ) (2t + 1). $$

Tenemos la suma $ \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2t + 1) $. La pregunta es: ¿realmente importa qué letra usar en esta cantidad? :) Triste escribiendo la letra $ k $ en lugar de $ t $, obtenemos lo siguiente:

$$ \ sum \ límites_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2t + 1) = \ sum \ límites_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k +1). $$

Así es como obtenemos la igualdad $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $.

Por tanto, el importe parcial se puede representar de la siguiente manera:

$$ S_n = \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ límites_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1 ). $$

Tenga en cuenta que las sumas $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) $ y $ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1 ) (2k + 1) $ difieren solo en los límites de la suma. Hagamos que estos límites sean los mismos. Tomando el primer elemento de la suma $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) $ tendremos:

$$ \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) = \ frac (1) (2 \ cdot 1 + 1) + \ suma \ límites_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1). $$

Tomando el último elemento de la suma $ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $, obtenemos:

$$ \ sum \ límites_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) = \ sum \ límites_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1 ) + \ frac (1) (2 (n + 1) +1) = \ suma \ límites_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) + \ frac (1) (2n + 3). $$

Entonces la expresión para la suma parcial tomará la forma:

$$ S_n = \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ límites_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k +1) = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ left (\ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) + \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \\ = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ suma \ límites_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2n + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$

Si omitimos todas las explicaciones, entonces el proceso de encontrar una fórmula abreviada para la n-ésima suma parcial tomará la siguiente forma:

$$ S_n = \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) u_k = \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ left (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ right) = \\ = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ frac (1) (3) + \ suma \ límites_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ izquierda (\ suma \ límites_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1 ) + \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$

Permíteme recordarte que redujimos la fracción $ \ frac (1) (2k + 3) $ a la forma $ \ frac (1) (2k + 1) $. Por supuesto, puede hacer lo contrario, es decir representar la fracción $ \ frac (1) (2k + 1) $ como $ \ frac (1) (2k + 3) $. La expresión final del importe parcial no cambiará. En este caso, ocultaré el proceso de encontrar la suma parcial debajo de una nota.

¿Cómo encontrar $ S_n $ si lo reducimos a otra fracción? mostrar ocultar

$$ S_n = \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \ suma \ límites_ (k = 0) ^ (n-1) \ frac (1) (2k + 3) - \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \\ = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n-1) \ frac (1) (2k + 3) - \ left (\ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n-1) \ frac (1) (2k + 3) + \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$

Entonces $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $. Encuentre el límite $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $:

$$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n = \ lim_ (n \ to \ infty) \ left (\ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) -0 = \ frac (1) (3). $$

La serie dada converge y su suma es $ S = \ frac (1) (3) $.

Respuesta: $ S = \ frac (1) (3) $.

La continuación del tema de encontrar la suma de una serie se considerará en la segunda y tercera partes.