Función lineal y su gráfica. Función lineal Gráfica de la función lineal y 3

Función lineal llamada función de la forma y = kx + b, definido en el conjunto de todos los números reales. Aquí k– pendiente (número real), b – término libre (número real), X- variable independiente.

En el caso especial, si k = 0, obtenemos una función constante y = segundo, cuya gráfica es una recta paralela al eje Ox que pasa por el punto de coordenadas (0; segundo).

Si segundo = 0, entonces obtenemos la función y = kx, cual es proporcionalidad directa.

b – longitud del segmento, que está cortado por una línea recta a lo largo del eje Oy, contando desde el origen.

Significado geométrico del coeficiente. k – ángulo de inclinación Directo a la dirección positiva del eje Ox, considerado en sentido antihorario.

Propiedades de una función lineal:

1) El dominio de definición de una función lineal es todo el eje real;

2) Si k ≠ 0, entonces el rango de valores de la función lineal es todo el eje real. Si k = 0, entonces el rango de valores de la función lineal consta del número b;

3) La uniformidad y la imparidad de una función lineal dependen de los valores de los coeficientes. k Y b.

a) segundo ≠ 0, k = 0, por eso, y = b – par;

b) segundo = 0, k ≠ 0, por eso y = kx – impar;

C) segundo ≠ 0, k ≠ 0, por eso y = kx + b – función de forma general;

d) segundo = 0, k = 0, por eso y = 0 – funciones pares e impares.

4) Una función lineal no tiene la propiedad de periodicidad;

5) Puntos de intersección con ejes de coordenadas:

Buey: y = kx + b = 0, x = -b/k, por eso (-b/k; 0)– punto de intersección con el eje de abscisas.

Oye: y = 0k + b = b, por eso (0; segundo)– punto de intersección con el eje de ordenadas.

Nota: Si segundo = 0 Y k = 0, entonces la función y = 0 va a cero para cualquier valor de la variable X. Si segundo ≠ 0 Y k = 0, entonces la función y = segundo no desaparece para ningún valor de la variable X.

6) Los intervalos de constancia de signo dependen del coeficiente k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– positivo cuando X de (-b/k; +∞),

y = kx + b– negativo cuando X de (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– positivo cuando X de (-∞; -b/k),

y = kx + b– negativo cuando X de (-b/k; +∞).

C) k = 0, b > 0; y = kx + b positivo en todo el rango de definición,

k = 0, segundo< 0; y = kx + b negativo en todo el rango de definición.

7) Los intervalos de monotonicidad de una función lineal dependen del coeficiente k.

k > 0, por eso y = kx + b aumenta en todo el dominio de definición,

k< 0 , por eso y = kx + b disminuye en todo el dominio de definición.

8) La gráfica de una función lineal es una línea recta. Para construir una línea recta basta con conocer dos puntos. La posición de la recta en el plano coordenado depende de los valores de los coeficientes. k Y b. A continuación se muestra una tabla que ilustra claramente esto.

Definición de una función lineal

Introduzcamos la definición de lineal. funciones

Definición

Una función de la forma $y=kx+b$, donde $k$ es distinto de cero, se llama función lineal.

La gráfica de una función lineal es una línea recta. El número $k$ se llama pendiente de la recta.

Cuando $b=0$ la función lineal se llama función proporcionalidad directa$y=kx$.

Considere la Figura 1.

Arroz. 1. Geométrico significado pendiente de una recta

Considere el triángulo ABC. Vemos que $ВС=kx_0+b$. Encontremos el punto de intersección de la recta $y=kx+b$ con el eje $Ox$:

\ \

Entonces $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Encontremos la proporción de estos lados:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Por otro lado, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Así, podemos sacar la siguiente conclusión:

Conclusión

Significado geométrico del coeficiente $k$. El coeficiente angular de la recta $k$ es igual a la tangente del ángulo de inclinación de esta recta al eje $Ox$.

Estudio de la función lineal $f\left(x\right)=kx+b$ y su gráfica

Primero, considere la función $f\left(x\right)=kx+b$, donde $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Por eso, esta función aumenta en todo el dominio de definición. No hay puntos extremos.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Gráfico (Fig. 2).

Arroz. 2. Gráficas de la función $y=kx+b$, para $k > 0$.

Ahora considere la función $f\left(x\right)=kx$, donde $k

1. El dominio de definición son todos los números.
2. El rango de valores son todos números.
3. $f\izquierda(-x\derecha)=-kx+b$. La función no es ni par ni impar.
4. Para $x=0,f\left(0\right)=b$. Cuando $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Puntos de intersección con ejes de coordenadas: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ y $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Por lo tanto, la función no tiene puntos de inflexión.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Gráfico (Fig. 3).

Una función lineal es una función de la forma y=kx+b, donde x es la variable independiente, k y b son números cualesquiera.
La gráfica de una función lineal es una línea recta.

1. Para trazar una gráfica de función, Necesitamos las coordenadas de dos puntos que pertenecen a la gráfica de la función. Para encontrarlos, debes tomar dos valores de x, sustituirlos en la ecuación de la función y usarlos para calcular los valores de y correspondientes.

Por ejemplo, para trazar la función y= x+2, conviene tomar x=0 y x=3, entonces las ordenadas de estos puntos serán iguales a y=2 e y=3. Obtenemos los puntos A(0;2) y B(3;3). Conectémoslos y obtengamos una gráfica de la función y= x+2:

2. En la fórmula y=kx+b, el número k se llama coeficiente de proporcionalidad:
si k>0, entonces la función y=kx+b aumenta
si k
El coeficiente b muestra el desplazamiento de la gráfica de la función a lo largo del eje OY:
si b>0, entonces la gráfica de la función y=kx+b se obtiene a partir de la gráfica de la función y=kx desplazando b unidades hacia arriba a lo largo del eje OY
si b
La siguiente figura muestra las gráficas de las funciones y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Tenga en cuenta que en todas estas funciones el coeficiente k Por encima de cero, y las funciones son creciente. Además, cuanto mayor sea el valor de k, mayor será el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto a la dirección positiva del eje OX.

En todas las funciones b=3 - y vemos que todas las gráficas intersectan el eje OY en el punto (0;3)

Ahora considere las gráficas de las funciones y=-2x+3; y=- ½x+3; y=-x+3

Esta vez en todas las funciones el coeficiente k menos que cero y funciones están disminuyendo. Coeficiente b=3, y las gráficas, como en el caso anterior, cortan el eje OY en el punto (0;3)

Considere las gráficas de las funciones y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Ahora, en todas las ecuaciones funcionales los coeficientes k son iguales a 2. Y tenemos tres rectas paralelas.

Pero los coeficientes b son diferentes y estas gráficas cruzan el eje OY en diferentes puntos:
La gráfica de la función y=2x+3 (b=3) corta al eje OY en el punto (0;3)
La gráfica de la función y=2x (b=0) corta el eje OY en el punto (0;0) - el origen.
La gráfica de la función y=2x-3 (b=-3) corta al eje OY en el punto (0;-3)

Entonces, si conocemos los signos de los coeficientes k y b, podemos imaginar inmediatamente cómo se ve la gráfica de la función y=kx+b.
Si k 0

Si k>0 yb>0, entonces la gráfica de la función y=kx+b queda así:

Si k>0 y b, entonces la gráfica de la función y=kx+b queda así:

Si k, entonces la gráfica de la función y=kx+b se ve así:

Si k=0, entonces la función y=kx+b se convierte en la función y=b y su gráfica se ve así:

Las ordenadas de todos los puntos de la gráfica de la función y=b son iguales a b Si b=0, entonces la gráfica de la función y=kx (proporcionalidad directa) pasa por el origen:

3. Observemos por separado la gráfica de la ecuación x=a. La gráfica de esta ecuación es una línea recta paralela al eje OY, cuyos puntos tienen una abscisa x=a.

Por ejemplo, la gráfica de la ecuación x=3 se ve así:
¡Atención! La ecuación x=a no es una función, por lo que un valor del argumento corresponde a diferentes valores de la función, lo que no corresponde a la definición de función.

4. Condición para el paralelismo de dos rectas:

La gráfica de la función y=k 1 x+b 1 es paralela a la gráfica de la función y=k 2 x+b 2 si k 1 =k 2

5. La condición para que dos rectas sean perpendiculares:

La gráfica de la función y=k 1 x+b 1 es perpendicular a la gráfica de la función y=k 2 x+b 2 si k 1 *k 2 =-1 o k 1 =-1/k 2

6. Puntos de intersección de la gráfica de la función y=kx+b con los ejes coordenados.

Con eje OY. La abscisa de cualquier punto perteneciente al eje OY es igual a cero. Por lo tanto, para encontrar el punto de intersección con el eje OY, debes sustituir cero en la ecuación de la función en lugar de x. Obtenemos y=b. Es decir, el punto de intersección con el eje OY tiene coordenadas (0; b).

Con eje OX: La ordenada de cualquier punto perteneciente al eje OX es cero. Por lo tanto, para encontrar el punto de intersección con el eje OX, debes sustituir cero en la ecuación de la función en lugar de y. Obtenemos 0=kx+b. Por lo tanto x=-b/k. Es decir, el punto de intersección con el eje OX tiene coordenadas (-b/k;0):