Spektral- und Korrelationsanalyse deterministischer Signale. Korrelationsanalyse deterministischer Signale. Zusammenhang zwischen dem Energiespektrum eines Signals und seiner Autokorrelationsfunktion

In den frühen Stadien der Entwicklung der Funktechnik war die Frage nach der Auswahl der besten Signale für bestimmte spezifische Anwendungen nicht sehr dringlich. Dies lag einerseits an der relativ einfachen Struktur der übermittelten Nachrichten (Telegrafenpakete, Rundfunk); Andererseits erwies sich die praktische Umsetzung von Signalen komplexer Formen in Kombination mit Geräten zu deren Kodierung, Modulation und Rückumwandlung in eine Nachricht als schwierig umzusetzen.

Derzeit hat sich die Situation radikal verändert. In modernen radioelektronischen Systemen wird die Auswahl der Signale in erster Linie nicht durch die technische Zweckmäßigkeit ihrer Erzeugung, Umwandlung und ihres Empfangs bestimmt, sondern durch die Möglichkeit, im Systemdesign vorgesehene Probleme optimal zu lösen. Um zu verstehen, wie der Bedarf an Signalen mit speziell ausgewählten Eigenschaften entsteht, betrachten Sie das folgende Beispiel.

Vergleich zeitversetzter Signale.

Wenden wir uns der vereinfachten Idee der Funktionsweise eines Pulsradars zu, das die Entfernung zu einem Lied messen soll. Dabei sind im Wert Informationen über das Messobjekt enthalten – die Zeitverzögerung zwischen Antastung und empfangenen Signalen. Die Formen der Prüf- und Empfangssignale sind bei jeder Verzögerung gleich.

Das Blockschaltbild eines zur Entfernungsmessung vorgesehenen Radarsignalverarbeitungsgeräts könnte wie in Abb. 3.3.

Das System besteht aus einer Reihe von Elementen, die das übertragene „Referenz“-Signal für bestimmte festgelegte Zeiträume verzögern

Reis. 3.3. Gerät zur Messung der Signalverzögerungszeit

Die verzögerten Signale werden zusammen mit dem Empfangssignal Vergleichsgeräten zugeführt, die nach dem Prinzip arbeiten: Das Ausgangssignal erscheint nur, wenn beide Eingangsschwingungen „Kopien“ voneinander sind. Wenn Sie die Nummer des Kanals kennen, in dem das angegebene Ereignis auftritt, können Sie die Verzögerung und damit die Entfernung zum Ziel messen.

Ein solches Gerät arbeitet umso genauer, je stärker sich das Signal und seine zeitlich verschobene „Kopie“ voneinander unterscheiden.

Dadurch haben wir eine qualitative „Idee“ davon gewonnen, welche Signale für eine bestimmte Anwendung als „gut“ angesehen werden können.

Kommen wir zur genauen mathematischen Formulierung des gestellten Problems und zeigen, dass dieser Themenbereich in direktem Zusammenhang mit der Theorie der Energiespektren von Signalen steht.

Autokorrelationsfunktion des Signals.

Um den Grad der Differenz zwischen einem Signal und seiner zeitversetzten Kopie zu quantifizieren, ist es üblich, eine Autokorrelationsfunktion (ACF) des Signals einzuführen, die dem Skalarprodukt des Signals und der Kopie entspricht:

Im Folgenden gehen wir davon aus, dass das untersuchte Signal einen zeitlich lokalisierten gepulsten Charakter hat, so dass mit Sicherheit ein Integral der Form (3.15) existiert.

Es ist sofort klar, dass, wenn die Autokorrelationsfunktion gleich der Signalenergie wird:

Zu den einfachsten Eigenschaften eines ACF gehört seine Parität:

Wenn wir tatsächlich eine Änderung der Variablen im Integral (3.15) vornehmen, dann

Schließlich ist eine wichtige Eigenschaft der Autokorrelationsfunktion die folgende: Für jeden Wert der Zeitverschiebung überschreitet der ACF-Modul die Signalenergie nicht:

Diese Tatsache folgt direkt aus der Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung (siehe Kapitel 1):

Der ACF wird also durch eine symmetrische Kurve mit einem zentralen Maximum dargestellt, das immer positiv ist. Darüber hinaus kann die Autokorrelationsfunktion je nach Signalart entweder monoton fallenden oder oszillierenden Charakter haben.

Beispiel 3.3. Finden Sie den ACF eines rechteckigen Videoimpulses.

In Abb. 3.4a zeigt einen rechteckigen Videoimpuls mit Amplitude U und Dauer. Auch seine „Kopie“ ist hier dargestellt, zeitlich gegen die Verzögerung um verschoben. Die Berechnung des Integrals (3.15) erfolgt in diesem Fall lediglich auf Basis einer grafischen Konstruktion. Tatsächlich ist das Produkt und und nur innerhalb des Zeitintervalls, in dem eine Signalüberlappung beobachtet wird, ungleich Null. Aus Abb. 3.4 ist klar, dass dieses Zeitintervall gleich ist, wenn die Verschiebung die Impulsdauer nicht überschreitet. Also für das betrachtete Signal

Der Graph einer solchen Funktion ist das in Abb. gezeigte Dreieck. 3.4, geb. Die Breite der Basis des Dreiecks beträgt das Doppelte der Impulsdauer.

Reis. 3.4. Ermitteln des ACF eines rechteckigen Videoimpulses

Beispiel 3.4. Finden Sie die ACF eines rechteckigen Radioimpulses.

Wir betrachten ein Funksignal der Form

Da wir im Voraus wissen, dass der ACF gerade ist, berechnen wir das Integral (3.15) und setzen . Dabei

wo wir leicht hinkommen

Natürlich, wenn der Wert gleich der Energie dieses Impulses wird (siehe Beispiel 1.9). Formel (3.21) beschreibt die ACF eines rechteckigen Radioimpulses für alle darin liegenden Verschiebungen. Wenn der Absolutwert der Verschiebung die Impulsdauer überschreitet, verschwindet die Autokorrelationsfunktion gleichermaßen.

Beispiel 3.5. Bestimmen Sie den ACF einer Folge rechteckiger Videoimpulse.

Im Radar werden häufig Signale verwendet, bei denen es sich um Impulspakete gleicher Form handelt, die im gleichen Zeitintervall aufeinander folgen. Um einen solchen Burst zu erkennen und seine Parameter, beispielsweise seine zeitliche Position, zu messen, werden Geräte entwickelt, die Hardware-Algorithmen zur Berechnung des ACF implementieren.

Reis. 3.5. ACF eines Pakets von drei identischen Videoimpulsen: a – Paket von Impulsen; b – ACF-Diagramm

In Abb. 3.5c zeigt ein Paket bestehend aus drei identischen rechteckigen Videoimpulsen. Hier wird auch seine nach Formel (3.15) berechnete Autokorrelationsfunktion vorgestellt (Abb. 3.5, b).

Es ist deutlich zu erkennen, dass der maximale ACF bei erreicht wird. Wenn die Verzögerung jedoch ein Vielfaches der Sequenzperiode beträgt (in unserem Fall bei), werden Nebenkeulen des ACF beobachtet, deren Höhe mit der Hauptkeule vergleichbar ist. Daher können wir von einer gewissen Unvollkommenheit der Korrelationsstruktur dieses Signals sprechen.

Autokorrelationsfunktion eines unendlich ausgedehnten Signals.

Wenn periodische Sequenzen zeitlich unbegrenzter Dauer berücksichtigt werden müssen, muss der Ansatz zur Untersuchung der Korrelationseigenschaften von Signalen etwas modifiziert werden.

Wir gehen davon aus, dass eine solche Sequenz aus einem zeitlich lokalisierten, d. h. gepulsten Signal entsteht, wenn dessen Dauer gegen Unendlich tendiert. Um eine Divergenz der resultierenden Ausdrücke zu vermeiden, definieren wir den ionischen ACF als den Durchschnittswert des Skalarprodukts des Signals und seiner Kopie:

Bei diesem Ansatz entspricht die Autokorrelationsfunktion der durchschnittlichen gegenseitigen Leistung dieser beiden Signale.

Wenn Sie beispielsweise den ACF für eine zeitlich unbegrenzte Kosinuswelle ermitteln möchten, können Sie die Formel (3.21) verwenden, die Sie für einen Funkimpuls mit Dauer erhalten, und dann unter Berücksichtigung der Definition (3.22) zum Grenzwert gehen. Als Ergebnis erhalten wir

Dieser ACF ist selbst eine periodische Funktion; sein Wert ist gleich

Zusammenhang zwischen dem Energiespektrum eines Signals und seiner Autokorrelationsfunktion.

Beim Studium des Materials in diesem Kapitel könnte der Leser denken, dass es sich bei den Methoden der Korrelationsanalyse um spezielle Techniken handelt, die nichts mit den Prinzipien der Spektralzerlegung zu tun haben. Dies ist jedoch nicht der Fall. Es lässt sich leicht zeigen, dass ein enger Zusammenhang zwischen dem ACF und dem Energiespektrum des Signals besteht.

Tatsächlich ist der ACF gemäß Formel (3.15) ein Skalarprodukt: Hier bezeichnet das Symbol eine zeitversetzte Kopie des Signals und ,

Wenn wir uns der verallgemeinerten Rayleigh-Formel (2.42) zuwenden, können wir die Gleichheit schreiben

Spektrale Dichte des zeitverschobenen Signals

Somit kommen wir zum Ergebnis:

Das Quadrat des spektralen Dichtemoduls repräsentiert bekanntlich das Energiespektrum des Signals. Das Energiespektrum und die Autokorrelationsfunktion hängen also durch die Fourier-Transformation zusammen:

Es ist klar, dass es auch einen umgekehrten Zusammenhang gibt:

Diese Ergebnisse sind aus zwei Gründen von grundlegender Bedeutung. Erstens ist es möglich, die Korrelationseigenschaften von Signalen anhand der Verteilung ihrer Energie über das Spektrum zu bewerten. Je breiter das Frequenzband des Signals ist, desto schmaler ist die Hauptkeule der Autokorrelationsfunktion und desto perfekter ist das Signal im Hinblick auf die Möglichkeit, den Zeitpunkt seines Beginns genau zu messen.

Zweitens geben die Formeln (3.24) und (3.26) den Weg zur experimentellen Bestimmung des Energiespektrums an. Oft ist es praktischer, zunächst die Autokorrelationsfunktion zu ermitteln und dann mithilfe der Fourier-Transformation das Energiespektrum des Signals zu ermitteln. Diese Technik hat sich bei der Untersuchung der Eigenschaften von Signalen mithilfe von Hochgeschwindigkeitscomputern in Echtzeit durchgesetzt.

Die Beziehung sovtk Daraus folgt das Korrelationsintervall

fällt umso kleiner aus, je höher die obere Grenzfrequenz des Signalspektrums ist.

Einschränkungen hinsichtlich der Form der Autokorrelationsfunktion des Signals.

Der gefundene Zusammenhang zwischen der Autokorrelationsfunktion und dem Energiespektrum ermöglicht es, ein interessantes und auf den ersten Blick nicht offensichtliches Kriterium für die Existenz eines Signals mit gegebenen Korrelationseigenschaften festzulegen. Tatsache ist, dass das Energiespektrum jedes Signals per Definition positiv sein muss [siehe. Formel (3.25)]. Diese Bedingung ist bei keiner ACF-Auswahl erfüllt. Wenn wir zum Beispiel nehmen

und berechnen Sie dann die entsprechende Fourier-Transformation

Diese Wechselfunktion kann nicht das Energiespektrum eines Signals darstellen.

Signalkorrelationsfunktionen dienen der integralen quantitativen Beurteilung von Signalformen und dem Grad ihrer Ähnlichkeit untereinander.

Autokorrelationsfunktionen (ACF) von Signalen (Korrelationsfunktion, CF). In Bezug auf deterministische Signale mit endlicher Energie ist der ACF ein quantitatives Integral, das die Signalform charakterisiert, und stellt das Integral des Produkts zweier um die Zeit t relativ zueinander verschobener Kopien des Signals s(t) dar:

B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.25)

Wie aus diesem Ausdruck hervorgeht, ist der ACF das Skalarprodukt des Signals und seiner Kopie in funktionaler Abhängigkeit vom Variablenwert der Verschiebung t. Dementsprechend hat der ACF die physikalische Dimension von Energie, und bei t = 0 ist der Wert des ACF direkt gleich der Signalenergie:

B s (0) =s(t) 2 dt = E s .

Die ACF-Funktion ist kontinuierlich und gleichmäßig. Letzteres lässt sich leicht überprüfen, indem man die Variable t = t-t im Ausdruck (2.25) ersetzt:

B s (t) = s(t-t) s(t) dt = s(t) s(t-t) dt = B s (-t). (2,25")

Unter Berücksichtigung der Parität wird die grafische Darstellung des ACF nur für positive Werte von t erstellt. In der Praxis werden Signale üblicherweise im Intervall positiver Argumentwerte von 0-T angegeben. Das Vorzeichen +t in Ausdruck (2.25) bedeutet, dass sich mit steigenden Werten von t eine Kopie des Signals s(t+t) entlang der t-Achse nach links verschiebt und über 0 hinausgeht, was eine entsprechende Erweiterung von erfordert das Signal in den Bereich negativer Werte des Arguments. Und da bei Berechnungen das Intervall zur Angabe von t in der Regel viel kleiner ist als das Intervall zur Angabe des Signals, ist es praktischer, die Kopie des Signals entlang der Argumentachse nach links zu verschieben, d.h. Verwenden der Funktion s(t-t) anstelle von s(t+t) in Ausdruck (2.25).

Wenn der Wert der Verschiebung t für endliche Signale zunimmt, nimmt die vorübergehende Überlappung des Signals mit seiner Kopie ab und das Skalarprodukt tendiert gegen Null.

Beispiel. Im Intervall (0,T) entsteht ein Rechteckimpuls mit einem Amplitudenwert gleich A. Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion des Impulses.

Wenn die Kopie des Impulses entlang der t-Achse nach rechts verschoben wird, überlappen sich die Signale bei 0≤t≤T im Intervall von t bis T. Skalarprodukt:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t).

Beim Verschieben einer Kopie des Impulses nach links, bei -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).

Bei |t| > T das Signal und seine Kopie haben keine Schnittpunkte und das Skalarprodukt der Signale ist Null (das Signal und seine verschobene Kopie werden orthogonal).

Zusammenfassend können wir die Berechnungen schreiben:

Bei periodischen Signalen wird der ACF über eine Periode T berechnet, wobei das Skalarprodukt und seine verschobene Kopie innerhalb der Periode gemittelt werden:

B s (t) = (1/T)s(t) s(t-t) dt.

Bei t=0 ist der Wert des ACF in diesem Fall nicht gleich der Energie, sondern der durchschnittlichen Leistung der Signale innerhalb des Intervalls T. Der ACF periodischer Signale ist ebenfalls eine periodische Funktion mit der gleichen Periode T. Für Bei einem harmonischen Eintonsignal ist dies offensichtlich. Der erste maximale ACF-Wert entspricht t=0. Wenn die Kopie des Signals um eine Viertelperiode relativ zum Original verschoben wird, werden die Integrandenfunktionen orthogonal zueinander (cos w o (t-t) = cos (w o t-p/2) º sin w o t) und ergeben einen ACF von Null Wert. Bei einer Verschiebung um t=T/2 wird die Richtung der Signalkopie dem Signal selbst entgegengesetzt und das Skalarprodukt erreicht seinen Minimalwert. Mit einer weiteren Erhöhung der Verschiebung beginnt der umgekehrte Prozess der Erhöhung der Werte des Skalarprodukts, der Nulldurchgang bei t=3T/2 und die Wiederholung des Maximalwerts bei t=T=2p/w o (cos w o t-2p Kopien von º cos wo t signal). Ein ähnlicher Vorgang findet bei periodischen Signalen beliebiger Form statt (Abb. 2.11).

Beachten Sie, dass das erhaltene Ergebnis nicht von der Anfangsphase des harmonischen Signals abhängt, die typisch für alle periodischen Signale und eine der Eigenschaften des ACF ist.

Für Signale, die in einem bestimmten Intervall gegeben werden, wird der ACF mit Normalisierung auf die Länge des Intervalls berechnet:

B s (t) =s(t) s(t+t) dt. (2.26)

Die Autokorrelation eines Signals kann auch anhand der Funktion der Autokorrelationskoeffizienten beurteilt werden, die nach folgender Formel berechnet werden (basierend auf zentrierten Signalen):

r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2.

Kreuzkorrelationsfunktion (CCF) von Signalen (Kreuzkorrelationsfunktion, CCF) zeigt sowohl den Grad der Ähnlichkeit in der Form zweier Signale als auch ihre relative Position relativ zueinander entlang der Koordinate (unabhängige Variable), für die die gleiche Formel (2.25) gilt Wird wie bei ACF verwendet, aber unter dem Integral steht ein Produkt aus zwei verschiedenen Signalen, von denen eines um die Zeit t verschoben ist:

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (2.27)

Wenn wir die Variable t = t-t in Formel (2.4.3) ersetzen, erhalten wir:

B 12 (t) =s 1 (t-t) s 2 (t) dt =s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)

Reis. 2.12. Signale und VKF

Daraus folgt, dass die Paritätsbedingung für den CCF nicht erfüllt ist und die CCF-Werte bei t = 0 kein Maximum aufweisen müssen. Dies ist in Abb. deutlich zu sehen. 2.12, wo zwei identische Signale mit Mittelpunkten bei den Punkten 0,5 und 1,5 angegeben sind. Die Berechnung nach Formel (2.27) mit einem allmählichen Anstieg der t-Werte bedeutet aufeinanderfolgende Verschiebungen des Signals s2(t) nach links entlang der Zeitachse (für jeden Wert von s1(t) werden die Werte s2(t+ t) werden zur Integrandenmultiplikation herangezogen).

Bei t=0 sind die Signale orthogonal und der Wert von B 12 (t)=0. Das Maximum von B 12 (t) wird beobachtet, wenn das Signal s2(t) um den Wert t=1 nach links verschoben wird, bei dem die Signale s1(t) und s2(t+t) vollständig kombiniert werden. Bei der Berechnung der Werte von B 21 (-t) wird ein ähnlicher Vorgang durchgeführt, indem das Signal s1(t) entlang der Zeitachse sukzessive nach rechts verschoben wird, wobei die negativen Werte von t allmählich ansteigen und dementsprechend die Werte von B 21 (-t) sind eine Spiegeldarstellung (relativ zur t=0-Achse) der Werte B 12 (t) und umgekehrt. In Abb. 2.13 ist dies deutlich zu erkennen.

Reis. 2.13. Signale und VKF

Um die vollständige Form des TCF zu berechnen, muss die t-Achse daher negative Werte enthalten, und eine Änderung des Vorzeichens von t in Formel (2.27) entspricht einer Neuordnung der Signale.

Bei periodischen Signalen wird das CCF-Konzept normalerweise nicht angewendet, mit Ausnahme von Signalen mit derselben Periode, beispielsweise Eingangs- und Ausgangssignalen von Systemen bei der Untersuchung der Eigenschaften von Systemen.

Die Funktion der Kreuzkorrelationskoeffizienten zweier Signale wird nach folgender Formel berechnet (basierend auf zentrierten Signalen):

r sv (t) = cos j(t) = ás(t), v(t+t)ñ /||s(t)|| ||v(t)||. (2.28)

Der Wert der Kreuzkorrelationskoeffizienten kann zwischen -1 und 1 variieren.

Das Konzept der Korrelation bedeutet Ähnlichkeit. Die Signalkorrelationsfunktion ist eine Funktion und wird durch gegeben

wobei τ die Zeitverschiebung des Signals ist.

Wenn der Ausdruck (2.65) die Form annimmt

wobei E die Signalenergie ist. Somit ist die Korrelationsfunktion bei einer Zeitverschiebung von Null gleich der Signalenergie.

Neben der Korrelationsfunktion (2.65) gibt es eine gegenseitige Korrelationsfunktion, die die gegenseitige Beziehung zwischen den Werten zweier Signale charakterisiert und durch den Ausdruck bestimmt wird:

Wenn U1(t) und U2(t) das gleiche Signal U(t) sind, dann sind die Kreuzkorrelations- und Korrelationsfunktionen gleich.

Die Korrelationsfunktion nimmt ihren Maximalwert erst bei an. Auch die Kreuzkorrelationsfunktion zweier identischer Signale erreicht bei . Für unterschiedliche Signale U1(t) und U2(t) erreicht der Maximalwert der Funktion möglicherweise nicht bei . Beispielsweise hat die Kreuzkorrelationsfunktion einer Kosinuswelle einen Maximalwert bei .

Betrachten wir die Korrelationsfunktionen typischer Signale.

Das Rechteckvideosignal und seine Korrelationsfunktion sind in Abb. dargestellt. 2.24.

Die Korrelationsfunktion eines periodischen Videosignals mit der Periode T nach (2.66) hat die Form:

(2.67)

Die Korrelationsfunktion des harmonischen Signals ist gleich:

Das Signal und seine Korrelationsfunktion sind in Abbildung 2.25 dargestellt.

Reis. 2,25. Harmonisches Signal (a) und seine Korrelationsfunktion (b).

Die Kreuzkorrelationsfunktion zweier harmonischer Signale gleicher Frequenz hat die Form:

(2.69)

Wenn und , dann ist die Kreuzkorrelationsfunktion (2.68) gleich der Korrelationsfunktion des harmonischen Signals (2.69).

Die Kreuzkorrelationsfunktion zweier harmonischer Signale mit unterschiedlichen Frequenzen ist Null. Folglich sind harmonische Signale mit unterschiedlichen Frequenzen nicht miteinander korreliert (nicht ähnlich).

In der Kommunikationstheorie wird die Korrelationstheorie zur Untersuchung zufälliger Prozesse verwendet und ermöglicht es, einen Zusammenhang zwischen der Korrelation und den spektralen Eigenschaften zufälliger Signale herzustellen. Oft besteht das Problem, ein übertragenes Signal in einem anderen oder in Interferenzen zu erkennen. Um Signale zuverlässig zu erkennen, kommt das Verfahren zum Einsatz Zusammenhänge, basierend auf der Korrelationstheorie. In der Praxis erweist es sich als nützlich, die Charakteristik zu analysieren, die eine Vorstellung von der zeitlichen Änderungsrate sowie der Dauer des Signals gibt, ohne es in harmonische Komponenten zu zerlegen.

Lassen Sie eine Kopie des Signals u(t - r) relativ zum Original verschoben u(t) für ein Zeitintervall t. Um den Grad der Differenz (Verbindung) des Signals zu quantifizieren u(t) und seine Offset-Kopie u(t - r) verwenden Autokorrelationsfunktion(AKF). Der ACF zeigt den Grad der Ähnlichkeit zwischen dem Signal und seiner verschobenen Kopie – je höher der ACF-Wert, desto stärker die Ähnlichkeit.

Für ein deterministisches Signal endlicher Dauer (endliches Signal) ist die analytische Notation des ACF ein Integral der Form

Formel (2.56) zeigt, dass in Abwesenheit einer Kopieverschiebung relativ zum Signal (m = 0) der ACF positiv, maximal und gleich der Signalenergie ist:

Diese Energie [J] wird an einem Widerstand mit einem Widerstandswert von 1 Ohm abgegeben, wenn an dessen Anschlüsse eine Spannung angelegt wird u(t)[IN].

Eine der wichtigsten Eigenschaften des ACF ist seine Parität: IN( t) = IN(- T). In der Tat, wenn wir im Ausdruck (2.56) die Variable ändern x = t - t, dann

Daher kann Integral (2.56) in einer anderen Form dargestellt werden:

Für ein periodisches Signal mit einer Periode Г, dessen Energie unendlich groß ist (da das Signal unendlich lange existiert), ist die Berechnung des ACF mit der Formel (2.56) nicht akzeptabel. In diesem Fall wird der ACF für den Zeitraum ermittelt:

Beispiel 2.3

Bestimmen wir die ACF eines Rechteckimpulses, der eine Amplitude hat E und Dauer t und (Abb. 2.24).

Lösung

Für einen Puls ist es praktisch, den ACF grafisch zu berechnen. Diese Konstruktion ist in Abb. dargestellt. 2.24, a - g, wo jeweils der Anfangsimpuls gegeben wird u(t)= Du t seine um t m t (?) = verschobene Kopie u(t- m) = m t und ihr Produkt u(f)u(t- t) = uu v Betrachten wir die grafische Berechnung des Integrals (2.56). Arbeiten u(t)u(t- m) ist in dem Zeitintervall, in dem sich Teile des Signals und seiner Kopie überlappen, ungleich Null. Wie aus Abb. 2.24 ist dieses Intervall gleich x - t m, wenn die Zeitverschiebung der Kopie kleiner als die Impulsdauer ist. In solchen Fällen wird der ACF für einen Puls bestimmt als IN( t) = E 2 ( t und - |t|) mit einer vorübergehenden Verschiebung der Kopie auf den aktuellen Zeitpunkt |t| B(0) = = E 2 t u = E (siehe Abb. 2.24, G).

Reis. 2.24.

A - Impuls; 6 - Kopieren; V - Produkt aus Signal und Kopie; G - AKF

Oft wird ein numerischer Parameter eingeführt, der zum Analysieren und Vergleichen von Signalen geeignet ist: Korrelationsintervall tk, analytisch und grafisch gleich der Breite der Basis des ACF. Für dieses Beispiel ist das Korrelationsintervall t k = 2t u.

Beispiel 2.4

Lassen Sie uns den ACF eines harmonischen (Kosinus-)Signals bestimmen u(t) == t/ m cos(co? + a).

Reis. 2,25.

A - harmonisches Signal; B - ACF des harmonischen Signals

Lösung

Formel (2.57) verwenden und bezeichnen V p ( t) = IN( t), finden wir

Aus dieser Formel folgt, dass der ACF eines harmonischen Signals auch eine harmonische Funktion ist (Abb. 2.25, B) und hat eine Leistungsdimension (B 2). Beachten wir eine weitere sehr wichtige Tatsache: Der berechnete ACF hängt nicht von der Anfangsphase des harmonischen Signals (Parameter) ab

Aus der Analyse ergibt sich eine wichtige Schlussfolgerung: ACF von fast jedem Signal hängt nicht von seinem Phasenspektrum ab. Folglich haben Signale, deren Amplitudenspektren vollständig übereinstimmen, deren Phasenspektren sich jedoch unterscheiden, den gleichen ACF. Ein weiterer Hinweis ist, dass das ACF nicht zur Rekonstruktion des Originalsignals verwendet werden kann (wiederum aufgrund des Verlusts von Phaseninformationen).

Zusammenhang zwischen dem ACF und dem Energiespektrum des Signals. Lassen Sie den Puls signalisieren u(t) hat eine spektrale Dichte von 5(co). Definieren wir den ACF mithilfe der Formel (2.56) schriftlich und C) in Form der inversen Fourier-Transformation (2.30):

Durch die Einführung einer neuen Variable x = t - m, aus der letzten Formel erhalten wir hier das Integral

ist eine Funktion, die das komplexe Konjugat der Spektraldichte des Signals ist

Unter Berücksichtigung der Beziehung (2.59) erhält die Formel (2.58) die Form Funktion

angerufen Energiespektrum (spektrale Energiedichte) des Signals, Zeigt die Verteilung der Energie nach Frequenz. Die Dimension des Signalenergiespektrums entspricht dem Wert IP/co) - [(V 2 -s)/Hz].

Unter Berücksichtigung der Beziehung (2.60) erhalten wir schließlich den Ausdruck für den ACF:

Der ACF eines Signals ist also die inverse Fourier-Transformation seines Energiespektrums. Direkte Fourier-Transformation von ACF

Also, direkte Fourier-Transformation (2.62) ACF bestimmt das Energiespektrum, A inverse Fourier-Transformation des Energiespektrums(2.61) - ACF eines deterministischen Signals. Diese Ergebnisse sind aus zwei Gründen wichtig. Erstens wird es anhand der Energieverteilung über das Spektrum möglich, die Korrelationseigenschaften von Signalen zu bewerten – je breiter das Energiespektrum des Signals, desto kleiner das Korrelationsintervall. Dementsprechend gilt: Je größer das Signalkorrelationsintervall, desto kürzer ist sein Energiespektrum. Zweitens ermöglichen die Beziehungen (2.61) und (2.62), experimentell eine der Funktionen aus dem Wert der anderen zu bestimmen. Oft ist es praktischer, zuerst den ACF zu ermitteln und dann die direkte Fourier-Transformation zur Berechnung des Energiespektrums zu verwenden. Diese Technik wird häufig bei der Analyse der Eigenschaften von Signalen in Echtzeit verwendet, d. h. ohne zeitliche Verzögerung bei der Bearbeitung.

Kreuzkorrelationsfunktion zweier Signale. Wenn Sie den Grad der Verbindung zwischen Signalen bewerten müssen u x (t) Und u 2 (t), dann verwenden sie Interkorrelationsfunktion(VKF)

Wenn m = O, ist der VCF gleich dem sogenannten gegenseitige Energie zweier Signale

Der VCF-Wert ändert sich nicht, wenn das zweite Signal verzögert wird u2(t) Betrachten Sie daher seinen Fortschritt um das erste Signal m,(?).

ACF ist ein Sonderfall von CCF, wenn die Signale gleich sind, d. h. u y (t) = u 2 (t) = u(t). Im Gegensatz zum ACF ist der VCF zweier Signale B 12 (m) nicht gerade und nicht unbedingt maximal bei m = 0, d. h. in Ermangelung einer zeitlichen Verschiebung der Signale.

SIGNALE Und LINEAR SYSTEME

Signale und lineare Systeme. Korrelation von Signalen

Thema 6. SIGNALKORRELATION

Extreme Angst und extremer Mut verursachen Magenbeschwerden und Durchfall.

Michel Montaigne. Französischer Jurist und Denker, 16. Jahrhundert.

Das ist die Nummer! Die beiden Funktionen korrelieren zu 100 % mit der dritten und sind orthogonal zueinander. Nun, der Allmächtige hatte während der Erschaffung der Welt Witze.

Anatoli Pyschminzew. Nowosibirsker Geophysiker der Uralschule, 20. Jahrhundert.

1. Autokorrelationsfunktionen von Signalen. Das Konzept der Autokorrelationsfunktionen (ACFs). ACF von zeitlich begrenzten Signalen. ACF periodischer Signale. Autokovarianzfunktionen (ACF). ACF diskreter Signale. ACF von verrauschten Signalen. ACF von Codesignalen.

2. Kreuzkorrelationsfunktionen von Signalen (CCF). Kreuzkorrelationsfunktion (CCF). Kreuzkorrelation verrauschter Signale. VCF diskreter Signale. Schätzung periodischer Signale im Rauschen. Funktion gegenseitiger Korrelationskoeffizienten.

3. Spektrale Dichten von Korrelationsfunktionen. Spektrale Dichte von ACF. Signalkorrelationsintervall. Spektrale Dichte von VKF. Berechnung von Korrelationsfunktionen mittels FFT.

Einführung

Korrelation und ihr Sonderfall für zentrierte Signale – die Kovarianz – ist eine Methode der Signalanalyse. Wir stellen eine der Möglichkeiten zur Anwendung der Methode vor. Nehmen wir an, dass es ein Signal s(t) gibt, das eine Folge x(t) endlicher Länge T enthalten kann (oder auch nicht), deren zeitliche Position uns interessiert. Um diese Sequenz in einem Zeitfenster der Länge T zu suchen, das entlang des Signals s(t) gleitet, werden die Skalarprodukte der Signale s(t) und x(t) berechnet. Wir „wenden“ also das gewünschte Signal x(t) auf das Signal s(t) an, gleiten entlang seines Arguments und schätzen anhand des Wertes des Skalarprodukts den Grad der Ähnlichkeit der Signale an den Vergleichspunkten.

Die Korrelationsanalyse ermöglicht es, in Signalen (oder in Reihen digitaler Signaldaten) das Vorhandensein eines bestimmten Zusammenhangs zwischen Änderungen der Signalwerte an einer unabhängigen Variablen festzustellen, d. h. wenn große Werte eines Signals (relativ) auftreten zu den durchschnittlichen Signalwerten) sind mit großen Werten eines anderen Signals verbunden (positive Korrelation), oder umgekehrt sind kleine Werte eines Signals mit großen Werten eines anderen Signals verbunden (negative Korrelation), oder die Daten von zwei Signale stehen in keinerlei Zusammenhang (Nullkorrelation).

Im Funktionsraum von Signalen kann dieser Zusammenhangsgrad in normalisierten Einheiten des Korrelationskoeffizienten, also im Kosinus des Winkels zwischen den Signalvektoren, ausgedrückt werden und nimmt dementsprechend Werte ab 1 an (vollständige Übereinstimmung von Signale) bis -1 (vollständiges Gegenteil) und hängt nicht vom Wert (Skala) der Maßeinheiten ab.

In der Autokorrelationsversion wird eine ähnliche Technik verwendet, um das Skalarprodukt des Signals s(t) mit seiner eigenen, entlang des Arguments gleitenden Kopie zu bestimmen. Mit der Autokorrelation können Sie die durchschnittliche statistische Abhängigkeit aktueller Signalproben von ihren vorherigen und nachfolgenden Werten (dem sogenannten Korrelationsradius von Signalwerten) abschätzen und das Vorhandensein sich periodisch wiederholender Elemente im Signal identifizieren.

Korrelationsmethoden sind bei der Analyse zufälliger Prozesse von besonderer Bedeutung, um nicht zufällige Komponenten zu identifizieren und die nicht zufälligen Parameter dieser Prozesse zu bewerten.

Beachten Sie, dass hinsichtlich der Begriffe „Korrelation“ und „Kovarianz“ einige Verwirrung herrscht. In der mathematischen Literatur wird der Begriff „Kovarianz“ für zentrierte Funktionen und „Korrelation“ für beliebige Funktionen verwendet. In der Fachliteratur und insbesondere in der Literatur zu Signalen und Methoden ihrer Verarbeitung wird häufig die genau entgegengesetzte Terminologie verwendet. Dies ist zwar nicht von grundsätzlicher Bedeutung, aber beim Kennenlernen literarischer Quellen lohnt es sich, auf den akzeptierten Zweck dieser Begriffe zu achten.

6.1. Autokorrelationsfunktionen von Signalen.

Das Konzept der Autokorrelationsfunktionen von Signalen . Die Autokorrelationsfunktion (CF – Korrelationsfunktion) eines energetisch endlichen Signals s(t) ist ein quantitatives Integralmerkmal der Signalform, das im Signal die Art und Parameter der immer auftretenden gegenseitigen zeitlichen Beziehung von Abtastwerten identifiziert für periodische Signale, sowie das Intervall und der Grad der Abhängigkeit der Messwerte zu aktuellen Zeitpunkten von der Vorgeschichte des aktuellen Zeitpunkts. Der ACF wird durch das Integral des Produkts zweier um die Zeit t relativ zueinander verschobener Kopien des Signals s(t) bestimmt:

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt = ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)|| ||s(t+t)|| cos j(t). (6.1.1)

Bs(0) =s(t)2 dt = Es.

ACF bezieht sich auf gerade Funktionen, was leicht überprüft werden kann, indem die Variable t = t-t im Ausdruck (6.1.1) ersetzt wird:

Bs(t) = s(t-t) s(t) dt = Bs(-t).

Der maximale ACF, der der Signalenergie bei t=0 entspricht, ist immer positiv, und das ACF-Modul überschreitet bei keinem Wert der Zeitverschiebung die Signalenergie. Letzteres folgt direkt aus den Eigenschaften des Skalarprodukts (ebenso wie die Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung):

ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t),

cos j(t) = 1 bei t = 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t)|| = Es,

weil j(t)< 1 при t ¹ 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t) < Es.

Als Beispiel in Abb. In Abb. 6.1.1 zeigt zwei Signale – einen Rechteckimpuls und einen Funkimpuls gleicher Dauer T – und die Formen ihrer ACF, die diesen Signalen entsprechen. Die Amplitude der Funkimpulsschwingungen wird gleich der Amplitude des Rechteckimpulses gesetzt, wobei auch die Signalenergien gleich sind, was durch die gleichen Werte der zentralen Maxima des ACF bestätigt wird. Für endliche Pulsdauern sind auch die ACF-Dauern endlich und entsprechen dem Doppelten der Pulsdauern (wenn eine Kopie eines endlichen Pulses um ein Intervall seiner Dauer sowohl nach links als auch nach rechts verschoben wird, ergibt sich das Produkt aus Impuls mit seiner Kopie wird gleich Null). Die Schwingungsfrequenz des ACF eines Funkimpulses ist gleich der Schwingungsfrequenz der Füllung des Funkimpulses (laterale Minima und Maxima des ACF treten jedes Mal bei aufeinanderfolgenden Verschiebungen einer Kopie des Funkimpulses um die halbe Periode auf der Schwingungen seiner Füllung).

Bei gegebener Parität wird die grafische Darstellung des ACF normalerweise nur für positive Werte von t durchgeführt. In der Praxis werden Signale üblicherweise im Intervall positiver Argumentwerte von 0-T angegeben. Das Vorzeichen +t in Ausdruck (6.1.1) bedeutet, dass sich mit steigenden Werten von t eine Kopie des Signals s(t+t) entlang der t-Achse nach links verschiebt und über 0 hinausgeht. Bei digitalen Signalen gilt: Dies erfordert eine entsprechende Erweiterung der Daten in den Bereich negativer Argumentwerte. Und da bei Berechnungen das Intervall zur Angabe von t normalerweise viel kleiner ist als das Intervall zur Angabe des Signals, ist es praktischer, die Kopie des Signals entlang der Argumentachse nach links zu verschieben, d. h. stattdessen die Funktion s(t-t) zu verwenden von s(t+t) im Ausdruck (6.1.1) ).

Bs(t) = s(t) s(t-t) dt. (6.1.1")

Bei endlichen Signalen nimmt mit zunehmendem Wert der Verschiebung t die vorübergehende Überlappung des Signals mit seiner Kopie ab, und dementsprechend tendieren der Kosinus des Wechselwirkungswinkels und das Skalarprodukt als Ganzes gegen Null:

Der aus dem zentrierten Signalwert s(t) berechnete ACF beträgt Autokovarianz Signalfunktion:

Cs(t) = dt, (6.1.2)

wobei ms der durchschnittliche Signalwert ist. Kovarianzfunktionen stehen durch eine ziemlich einfache Beziehung mit Korrelationsfunktionen in Zusammenhang:

Cs(t) = Bs(t) - ms2.

ACF von zeitlich begrenzten Signalen. In der Praxis werden üblicherweise über einen bestimmten Zeitraum abgegebene Signale untersucht und analysiert. Um den ACF von Signalen zu vergleichen, die in unterschiedlichen Zeitintervallen spezifiziert sind, findet eine Modifikation des ACF mit Normalisierung auf die Länge des Intervalls praktische Anwendung. Wenn Sie beispielsweise ein Signal im Intervall angeben:

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt. (6.1.3)

Der ACF kann auch für schwach gedämpfte Signale mit unendlicher Energie berechnet werden, als Durchschnittswert des Skalarprodukts des Signals und seiner Kopie, wenn das Signaleinstellungsintervall gegen Unendlich tendiert:

Bs(t) = . (6.1.4)

Gemäß diesen Ausdrücken hat ACF eine physikalische Leistungsdimension und ist gleich der durchschnittlichen gegenseitigen Leistung des Signals und seiner Kopie, abhängig funktionell von der Verschiebung der Kopie.

ACF periodischer Signale. Die Energie periodischer Signale ist unendlich, daher wird der ACF periodischer Signale über eine Periode T berechnet, indem das Skalarprodukt des Signals und seiner innerhalb der Periode verschobenen Kopie gemittelt wird:

Bs(t) = (1/T)s(t) s(t-t) dt. (6.1.5)

Ein mathematisch strengerer Ausdruck:

Bs(t) = .

Bei t=0 ist der auf die Periode normierte Wert des ACF gleich der durchschnittlichen Leistung der Signale innerhalb der Periode. In diesem Fall ist der ACF von periodischen Signalen eine periodische Funktion mit der gleichen Periode T. Somit gilt für das Signal s(t) = A cos(w0t+j0) bei T=2p/w0:

Bs(t) = A cos(w0t+j0) A cos(w0(t-t)+j0) = (A2/2) cos(w0t). (6.1.6)

Das erhaltene Ergebnis hängt nicht von der Anfangsphase des harmonischen Signals ab, die typisch für alle periodischen Signale und eine der Eigenschaften des ACF ist. Mithilfe von Autokorrelationsfunktionen können Sie beliebige Signale auf periodische Eigenschaften prüfen. Ein Beispiel für die Autokorrelationsfunktion eines periodischen Signals ist in Abb. dargestellt. 6.1.2.

Autokovarianzfunktionen (ACF) werden auf ähnliche Weise berechnet, wobei zentrierte Signalwerte verwendet werden. Ein bemerkenswertes Merkmal dieser Funktionen ist ihre einfache Beziehung zur Streuung ss2 von Signalen (dem Quadrat des Standards – der Standardabweichung der Signalwerte vom Durchschnittswert). Bekanntlich ist der Dispersionswert gleich der durchschnittlichen Signalleistung, woraus folgt:

|Cs(t)| ≤ ss2, Cs(0) = ss2 º ||s(t)||2. (6.1.7)

Auf den Varianzwert normierte FAC-Werte sind eine Funktion der Autokorrelationskoeffizienten:

rs(t) = Cs(t)/Cs(0) = Cs(t)/ss2 º cos j(t). (6.1.8)

Diese Funktion wird manchmal als „echte“ Autokorrelationsfunktion bezeichnet. Aufgrund der Normalisierung hängen seine Werte nicht von den Einheiten (Skala) der Darstellung der Signalwerte s(t) ab und charakterisieren den Grad der linearen Beziehung zwischen Signalwerten in Abhängigkeit von der Größe der Verschiebung t zwischen Signalen Proben. Die Werte von rs(t) º cos j(t) können von 1 (vollständige direkte Korrelation der Messwerte) bis -1 (inverse Korrelation) variieren.

In Abb. 6.1.3 zeigt ein Beispiel der Signale s(k) und s1(k) = s(k)+Rauschen mit den FAK-Koeffizienten, die diesen Signalen entsprechen – rs und rs1. Wie in den Grafiken zu sehen ist, hat FAK mit Sicherheit das Vorhandensein periodischer Schwingungen in den Signalen festgestellt. Das Rauschen im Signal s1(k) verringerte die Amplitude der periodischen Schwingungen, ohne die Periode zu verändern. Dies wird durch das Diagramm der Cs/ss1-Kurve bestätigt, d. h. des FAC des Signals s(k) mit Normierung (zum Vergleich) auf den Wert der Signaldispersion s1(k), wo man deutlich erkennen kann, dass Rauschimpulse auftreten , mit völliger statistischer Unabhängigkeit ihrer Messwerte, verursachten einen Anstieg des Wertes Сs1(0) im Verhältnis zum Wert von Cs(0) und „verwischten“ die Funktion der Autokovarianzkoeffizienten etwas. Dies liegt daran, dass der Wert von rs(t) von Rauschsignalen bei t ® 0 gegen 1 tendiert und bei t ≠ 0 um Null schwankt, während die Schwankungsamplituden statistisch unabhängig sind und von der Anzahl der Signalabtastungen abhängen (sie tendieren gegen Null, wenn die Anzahl der Proben zunimmt).

ACF diskreter Signale. Wenn das Datenabtastintervall Dt = const ist, wird die ACF-Berechnung über die Intervalle Dt = Dt durchgeführt und normalerweise als diskrete Funktion der Zahlen n der Abtastverschiebung nDt geschrieben:

Bs(nDt) = Dtsk×sk-n. (6.1.9)

Diskrete Signale werden normalerweise in Form von numerischen Arrays einer bestimmten Länge mit der Probennummerierung k = 0,1,...K bei Dt = 1 angegeben, und die Berechnung des diskreten ACF in Energieeinheiten erfolgt in einer Einwegversion. unter Berücksichtigung der Länge der Arrays. Wenn das gesamte Signalarray verwendet wird und die Anzahl der ACF-Abtastwerte gleich der Anzahl der Array-Abtastwerte ist, erfolgt die Berechnung gemäß der Formel:

Bs(n) = sk×sk-n. (6.1.10)

Der Multiplikator K/(K-n) in dieser Funktion ist ein Korrekturfaktor für die allmähliche Abnahme der Anzahl multiplizierter und summierter Werte mit zunehmender Verschiebung n. Ohne diese Korrektur für unzentrierte Signale zeigt sich bei den ACF-Werten ein Trend der Summation von Durchschnittswerten. Bei der Messung in Signalleistungseinheiten wird der Multiplikator K/(K-n) durch den Multiplikator 1/(K-n) ersetzt.

Formel (6.1.10) wird recht selten verwendet, hauptsächlich für deterministische Signale mit einer kleinen Anzahl von Abtastwerten. Bei zufälligen und verrauschten Signalen führt eine Verringerung des Nenners (K-n) und der Anzahl multiplizierter Abtastwerte mit zunehmender Verschiebung zu einer Zunahme statistischer Schwankungen in der ACF-Berechnung. Eine größere Zuverlässigkeit unter diesen Bedingungen wird durch die Berechnung des ACF in Signalleistungseinheiten mithilfe der Formel erreicht:

Bs(n) = sk×sk-n, sk-n = 0 bei k-n< 0, (6.1.11)

d.h. mit Normalisierung um einen konstanten Faktor 1/K und mit Erweiterung des Signals um Nullwerte (nach links bei Verwendung von k-n-Verschiebungen oder nach rechts bei Verwendung von k+n-Verschiebungen). Diese Schätzung ist verzerrt und weist eine etwas geringere Streuung auf als gemäß Formel (6.1.10). Der Unterschied zwischen den Normalisierungen nach den Formeln (6.1.10) und (6.1.11) ist in Abb. deutlich zu erkennen. 6.1.4.

Formel (6.1.11) kann als Mittelung der Summe der Produkte betrachtet werden, d. h. als Schätzung der mathematischen Erwartung:

Bs(n) = M(sk sk-n) @ . (6.1.12)

In der Praxis hat diskretes ACF die gleichen Eigenschaften wie kontinuierliches ACF. Es ist auch gerade und sein Wert bei n = 0 ist je nach Normierung gleich der Energie oder Leistung des diskreten Signals.

ACF von verrauschten Signalen . Das verrauschte Signal wird als Summe v(k) = s(k)+q(k) geschrieben. Im Allgemeinen muss Rauschen keinen Durchschnittswert von Null haben, und die leistungsnormalisierte Autokorrelationsfunktion eines digitalen Signals mit N Abtastwerten wird in der folgenden Form geschrieben:

Bv(n) = (1/N) ás(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n)ñ =

= (1/N) [ás(k), s(k-n)ñ + ás(k), q(k-n)ñ + áq(k), s(k-n)ñ + áq(k), q(k-n)ñ ] =

Bs(n) + M(sk qk-n) + M(qk sk-n) + M(qk qk-n).

Bv(n) = Bs(n) + + + . (6.1.13)

Mit statistischer Unabhängigkeit von Nutzsignal s(k) und Rauschen q(k) unter Berücksichtigung der Erweiterung des mathematischen Erwartungswertes

M(sk qk-n) = M(sk) M(qk-n) =

kann folgende Formel verwendet werden:

Bv(n) = Bs(n) + 2 + . (6.1.13")

Ein Beispiel für ein verrauschtes Signal und seinen ACF im Vergleich zu einem nicht verrauschten Signal ist in Abb. dargestellt. 6.1.5.

Aus den Formeln (6.1.13) folgt, dass der ACF eines verrauschten Signals aus dem ACF des Signalanteils des Nutzsignals mit einer überlagerten Rauschfunktion besteht, die auf einen Wert von 2+ abfällt. Für große Werte von K, wenn → 0, Bv(n) » Bs(n). Dies ermöglicht es, nicht nur periodische Signale aus dem ACF zu identifizieren, die fast vollständig im Rauschen verborgen sind (die Rauschleistung ist viel größer als die Signalleistung), sondern auch ihre Periode und Form innerhalb der Periode mit hoher Genauigkeit zu bestimmen und für einfrequente harmonische Signale deren Amplitude unter Verwendung der Ausdrücke (6.1.6).

	Barker-Signal	ACF des Signals





	1, 1, 1, -1, -1, 1, -1	7, 0, -1, 0, -1, 0, -1
	1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1	11,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1
	1,1,1,1,1,-1,-1,1,1-1,1,-1,1	13,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1

Codesignale sind eine Art diskreter Signale. Bei einem bestimmten Codewortintervall M×Dt können sie nur zwei Amplitudenwerte haben: 0 und 1 oder 1 und –1. Bei der Identifizierung von Codes mit erheblichem Rauschpegel ist die Form des ACF des Codeworts von besonderer Bedeutung. Unter diesem Gesichtspunkt sind die besten Codes diejenigen, deren ACF-Nebenkeulenwerte über die gesamte Länge des Codewortintervalls minimal sind und deren zentraler Spitzenwert maximal ist. Zu diesen Codes gehört der in Tabelle 6.1 gezeigte Barker-Code. Wie aus der Tabelle ersichtlich ist, ist die Amplitude der zentralen Spitze des Codes numerisch gleich dem Wert von M, während die Amplitude der seitlichen Schwingungen bei n ¹ 0 1 nicht überschreitet.

6.2. Kreuzkorrelationsfunktionen von Signalen.

Kreuzkorrelationsfunktion (CCF) verschiedener Signale (Kreuzkorrelationsfunktion, CCF) beschreibt sowohl den Grad der Ähnlichkeit in der Form zweier Signale als auch ihre relative Position relativ zueinander entlang der Koordinate (unabhängige Variable). Verallgemeinert man die Formel (6.1.1) der Autokorrelationsfunktion auf zwei verschiedene Signale s(t) und u(t), erhält man das folgende Skalarprodukt der Signale:

Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. (6.2.1)

Die Kreuzkorrelation von Signalen charakterisiert eine bestimmte Korrelation von Phänomenen und physikalischen Prozessen, die sich in diesen Signalen widerspiegeln, und kann als Maß für die „Stabilität“ dieser Beziehung dienen, wenn Signale in verschiedenen Geräten separat verarbeitet werden. Für Signale mit endlicher Energie ist auch die VCF endlich und:

|Bsu(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,

was aus der Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung und der Unabhängigkeit der Signalnormen von der Koordinatenverschiebung folgt.

Wenn wir die Variable t = t-t in Formel (6.2.1) ersetzen, erhalten wir:

Bsu(t) =s(t-t) u(t) dt = u(t) s(t-t) dt = Bus(-t).

Daraus folgt, dass die Paritätsbedingung Bsu(t) ¹ Bsu(-t) für den TCF nicht erfüllt ist und die Werte des TCF bei t = 0 kein Maximum aufweisen müssen.

Dies ist in Abb. deutlich zu erkennen. 6.2.1, wo zwei identische Signale mit Mittelpunkten an den Punkten 0,5 und 1,5 gegeben sind. Die Berechnung nach Formel (6.2.1) mit einem allmählichen Anstieg der t-Werte bedeutet aufeinanderfolgende Verschiebungen des Signals s2(t) nach links entlang der Zeitachse (für jeden Wert von s1(t) sind die Werte s2( t+t) werden für die Integrandenmultiplikation verwendet). Bei t=0 sind die Signale orthogonal und der Wert von B12(t)=0. Das Maximum B12(t) wird beobachtet, wenn das Signal s2(t) um den Wert t=1 nach links verschoben wird, bei dem die Signale s1(t) und s2(t+t) vollständig kombiniert werden.

Die gleichen Werte des CCF gemäß den Formeln (6.2.1) und (6.2.1") werden bei derselben relativen Position der Signale beobachtet: wenn das Signal u(t) um ein Intervall t relativ zu s verschoben wird (t) nach rechts entlang der Ordinatenachse und Signal s(t) relativ zum Signal u(t) nach links, d. h. Bsu(t) = Bus(-t).

In Abb. 6.2.2 zeigt Beispiele für CCF für ein Rechtecksignal s(t) und zwei identische Dreieckssignale u(t) und v(t). Alle Signale haben die gleiche Dauer T, während das Signal v(t) um das Intervall T/2 nach vorne verschoben ist.

Die Signale s(t) und u(t) sind zeitlich identisch und der Bereich der „Überlappung“ der Signale ist bei t=0 maximal, was durch die Bsu-Funktion festgelegt wird. Gleichzeitig ist die Bsu-Funktion stark asymmetrisch, da bei einer asymmetrischen Signalform u(t) für eine symmetrische Form s(t) (bezogen auf die Mitte der Signale) der „Überlappungsbereich“ der Signale ändert sich je nach Richtung der Verschiebung unterschiedlich (das Vorzeichen von t, wenn der Wert von t von Null aus zunimmt). Wenn die Anfangsposition des Signals u(t) entlang der Ordinatenachse nach links verschoben wird (vor dem Signal s(t) – Signal v(t)), bleibt die Form des CCF unverändert und verschiebt sich nach rechts um den gleichen Verschiebungswert - Funktion Bsv in Abb. 6.2.2. Wenn wir die Ausdrücke der Funktionen in (6.2.1) vertauschen, dann ist die neue Funktion Bvs eine bezüglich t=0 gespiegelte Funktion Bsv.

Unter Berücksichtigung dieser Merkmale wird der Gesamt-CCF in der Regel getrennt für positive und negative Verzögerungen berechnet:

Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. Bus(t) =u(t) s(t+t) dt. (6.2.1")

Kreuzkorrelation verrauschter Signale . Für zwei verrauschte Signale u(t) = s1(t)+q1(t) und v(t) = s2(t)+q2(t), unter Verwendung der Technik der Ableitung von Formeln (6.1.13) durch Ersetzen der Kopie von Wenn man das Signal s(t) in das Signal s2(t) umwandelt, lässt sich die Kreuzkorrelationsformel leicht in der folgenden Form ableiten:

Buv(t) = Bs1s2(t) + Bs1q2(t) + Bq1s2(t) + Bq1q2(t). (6.2.2)

Die letzten drei Terme auf der rechten Seite von (6.2.2) fallen mit zunehmender t auf Null. Für große Signalsetzintervalle kann der Ausdruck in der folgenden Form geschrieben werden:

Buv(t) = Bs1s2(t) + + + . (6.2.3)

Bei durchschnittlichen Rauschwerten von Null und statistischer Unabhängigkeit von Signalen geschieht Folgendes:

Buv(t) → Bs1s2(t).

VCF diskreter Signale. Alle Eigenschaften des VCF analoger Signale gelten auch für den VCF diskreter Signale, während die oben für diskrete ACF skizzierten Merkmale diskreter Signale auch für diese gelten (Formeln 6.1.9-6.1.12). Insbesondere mit Dt = const =1 für Signale x(k) und y(k) mit der Anzahl der Samples K:

Bxy(n) = xk yk-n. (6.2.4)

Bei Normalisierung in Leistungseinheiten:

Bxy(n) = xk yk-n @ . (6.2.5)

Schätzung periodischer Signale im Rauschen . Ein verrauschtes Signal kann durch Kreuzkorrelation mit dem „Referenz“-Signal mithilfe von Versuch und Irrtum abgeschätzt werden, wobei die Kreuzkorrelationsfunktion auf ihren Maximalwert eingestellt wird.

Für ein Signal u(k)=s(k)+q(k) mit statistischer Unabhängigkeit vom Rauschen und → 0 gilt die Kreuzkorrelationsfunktion (6.2.2) mit dem Signalmuster p(k) mit q2(k)= 0 hat die Form:

Bup(k) = Bsp(k) + Bqp(k) = Bsp(k) + .

Und da → 0 mit zunehmendem N, dann Bup(k) → Bsp(k). Offensichtlich hat die Funktion Bup(k) ein Maximum, wenn p(k) = s(k). Durch Ändern der Form der Vorlage p(k) und Maximieren der Funktion Bup(k) können wir eine Schätzung von s(k) in Form der optimalen Form p(k) erhalten.

Kreuzkorrelationskoeffizientenfunktion (VKF) ist ein quantitativer Indikator für den Grad der Ähnlichkeit der Signale s(t) und u(t). Ähnlich wie die Funktion der Autokorrelationskoeffizienten wird sie anhand der zentrierten Werte der Funktionen berechnet (zur Berechnung der Kreuzkovarianz reicht es aus, nur eine der Funktionen zu zentrieren) und auf das Produkt der Werte normiert der Standardfunktionen s(t) und v(t):

rsu(t) = Csu(t)/sssv. (6.2.6)

Das Intervall zum Ändern der Werte der Korrelationskoeffizienten mit Verschiebungen t kann von –1 (vollständige umgekehrte Korrelation) bis 1 (vollständige Ähnlichkeit oder hundertprozentige Korrelation) variieren. Bei Verschiebungen t, bei denen Nullwerte von rsu(t) beobachtet werden, sind die Signale unabhängig voneinander (unkorreliert). Mit dem Kreuzkorrelationskoeffizienten können Sie unabhängig von den physikalischen Eigenschaften der Signale und ihrer Größe das Vorhandensein einer Verbindung zwischen Signalen feststellen.

Bei der Berechnung des CCF verrauschter diskreter Signale begrenzter Länge mit der Formel (6.2.4) besteht eine Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Werten |rsu(n)| > 1.

Bei periodischen Signalen wird das CCF-Konzept normalerweise nicht angewendet, außer bei Signalen mit derselben Periode, beispielsweise Eingangs- und Ausgangssignalen bei der Untersuchung der Eigenschaften von Systemen.

6.3. Spektrale Dichten von Korrelationsfunktionen.

ACF-Spektraldichte kann aus den folgenden einfachen Überlegungen ermittelt werden.

Gemäß Ausdruck (6.1.1) ist der ACF eine Funktion des Skalarprodukts des Signals und seiner Kopie, verschoben um das Intervall t, bei -¥< t < ¥:

Bs(t) = ás(t), s(t-t)ñ.

Das Skalarprodukt kann anhand der Spektraldichten des Signals und seiner Kopien definiert werden, deren Produkt die gegenseitige Spektraldichte der Leistung ist:

ás(t), s(t-t)ñ = (1/2p)S(w) St*(w) dw.

Die Verschiebung des Signals entlang der Abszissenachse um das Intervall t wird in der Spektraldarstellung durch Multiplikation des Signalspektrums mit exp(-jwt) und für das konjugierte Spektrum mit dem Faktor exp(jwt) angezeigt:

St*(w) = S*(w) exp(jwt).

Unter Berücksichtigung dessen erhalten wir:

Bs(t) = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw =

= (1/2p)|S(w)|2 exp(jwt) dw. (6.3.1)

Der letzte Ausdruck ist jedoch die inverse Fourier-Transformation des Energiespektrums (spektrale Energiedichte) des Signals. Folglich hängen das Energiespektrum des Signals und seine Autokorrelationsfunktion durch die Fourier-Transformation zusammen:

Bs(t) Û |S(w)|2 = Ws(w). (6.3.2)

Somit ist die spektrale Dichte des ACF nichts anderes als die spektrale Leistungsdichte des Signals, die wiederum durch die direkte Fourier-Transformation durch den ACF bestimmt werden kann:

|S(w)|2 = Bs(t) exp(-jwt) dt. (6.3.3)

Der letztgenannte Ausdruck erlegt bestimmte Einschränkungen hinsichtlich der Form von ACF und der Methode zur Begrenzung ihrer Dauer auf.

Reis. 6.3.1. Spektrum eines nicht vorhandenen ACF

Das Energiespektrum von Signalen ist immer positiv; die Signalstärke kann nicht negativ sein. Folglich kann die ACF nicht die Form eines Rechteckimpulses haben, da die Fourier-Transformation eines Rechteckimpulses ein alternierender Integralsinus ist. Auf dem ACF sollten keine Diskontinuitäten erster Art (Sprünge) vorhanden sein, da unter Berücksichtigung der Parität des ACF jeder symmetrische Sprung entlang der ±t-Koordinate eine „Aufteilung“ des ACF in die Summe einer bestimmten stetigen Funktion erzeugt und ein Rechteckimpuls der Dauer 2t mit entsprechendem Auftreten negativer Werte im Energiespektrum Ein Beispiel für Letzteres ist in Abb. 6.3.1 (Funktionsgraphen werden, wie bei geraden Funktionen üblich, nur mit der rechten Seite dargestellt).

ACFs ausreichend ausgedehnter Signale sind normalerweise in ihrer Größe begrenzt (es werden begrenzte Datenkorrelationsintervalle von –T/2 bis T/2 untersucht). Die Kürzung des ACF ist jedoch die Multiplikation des ACF mit einem rechteckigen Auswahlimpuls der Dauer T, was sich im Frequenzbereich durch Faltung des tatsächlichen Leistungsspektrums mit einer alternierenden Integralsinusfunktion sinc(wT/2) widerspiegelt. Dies führt einerseits zu einer gewissen Glättung des Leistungsspektrums, was beispielsweise bei der Untersuchung von Signalen mit erheblichem Rauschpegel häufig sinnvoll ist. Andererseits kann es jedoch zu einer erheblichen Unterschätzung der Größe von Energiespitzen kommen, wenn das Signal harmonische Komponenten enthält, sowie zum Auftreten negativer Leistungswerte an den Randteilen von Spitzen und Sprüngen. Ein Beispiel für die Ausprägung dieser Faktoren ist in Abb. dargestellt. 6.3.2.

Reis. 6.3.2. Berechnung des Energiespektrums eines Signals unter Verwendung von ACFs unterschiedlicher Länge.

Signalleistungsspektren weisen bekanntlich keinen Phasenverlauf auf und es ist nicht möglich, daraus Signale zu rekonstruieren. Folglich verfügt der ACF von Signalen als temporäre Darstellung von Leistungsspektren auch nicht über Informationen über die Phaseneigenschaften der Signale und eine Rekonstruktion von Signalen mithilfe des ACF ist nicht möglich. Signale gleicher Form, zeitlich verschoben, haben den gleichen ACF. Darüber hinaus können Signale unterschiedlicher Form ähnliche ACFs aufweisen, wenn sie ähnliche Leistungsspektren aufweisen.

Schreiben wir Gleichung (6.3.1) in der folgenden Form um

s(t) s(t-t) dt = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw,

und ersetzen Sie den Wert t=0 in diesem Ausdruck. Die resultierende Gleichheit ist bekannt und heißt Parsevals Gleichheit

s2(t) dt = (1/2p)|S(w)|2 dw.

Damit können Sie die Signalenergie sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich der Signalbeschreibung berechnen.

Signalkorrelationsintervall ist ein numerischer Parameter zur Beurteilung der Breite des ACF und des Grades der signifikanten Korrelation von Signalwerten nach Argumenten.

Wenn wir davon ausgehen, dass das Signal s(t) ein annähernd gleichmäßiges Energiespektrum mit einem Wert von W0 und einer oberen Grenzfrequenz bis zu wв hat (die Form eines zentrierten Rechteckimpulses, wie Signal 1 in Abb. 6.3.3 mit fв = 50 Hz in einseitiger Darstellung ), dann wird der ACF des Signals durch den Ausdruck bestimmt:

Bs(t) = (Wo/p)cos(wt) dw = (Wowâ/p) sin(wât)/(wât).

Als Signalkorrelationsintervall tk wird die Breite des zentralen Peaks des ACF vom Maximum bis zum ersten Schnittpunkt der Nulllinie betrachtet. In diesem Fall entspricht für ein rechteckiges Spektrum mit einer oberen Grenzfrequenz wв der erste Nulldurchgang sinc(wвt) = 0 bei wвt = p, woraus folgt:

tк = p/wв =1/2fв. (6.3.4)

Je höher die obere Grenzfrequenz des Signalspektrums ist, desto kleiner ist das Korrelationsintervall. Bei Signalen mit glattem Cutoff bei der oberen Grenzfrequenz spielt die durchschnittliche Spektrumsbreite die Rolle des wв-Parameters (Signal 2 in Abb. 6.3.3).

Die spektrale Leistungsdichte des statistischen Rauschens bei einer einzelnen Messung ist eine Zufallsfunktion Wq(w) mit dem Mittelwert Wq(w) Þ sq2, wobei sq2 die Rauschvarianz ist. Im Grenzfall, bei einer gleichmäßigen spektralen Verteilung des Rauschens von 0 bis ¥, tendiert der Rausch-ACF zum Wert Bq(t) Þ sq2 bei t Þ 0, Bq(t) Þ 0 bei t ¹ 0, d. h. statistisches Rauschen ist nicht der Fall korreliert (tk Þ 0).

Praktische Berechnungen des ACF endlicher Signale beschränken sich üblicherweise auf das Verschiebungsintervall t = (0, (3-5)tk), in dem in der Regel die Hauptinformationen zur Autokorrelation von Signalen konzentriert sind.

Spektrale Dichte VKF kann basierend auf den gleichen Überlegungen wie für AFC oder direkt aus Formel (6.3.1) erhalten werden, indem die spektrale Dichte des Signals S(w) durch die spektrale Dichte des zweiten Signals U(w) ersetzt wird:

Bsu(t) = (1/2p)S*(w) U(w) exp(jwt) dw. (6.3.5)

Oder, wenn Sie die Reihenfolge der Signale ändern:

Bus(t) = (1/2p)U*(w) S(w) exp(jwt) dw. (6,3,5")

Das Produkt S*(w)U(w) stellt das gegenseitige Energiespektrum Wsu(w) der Signale s(t) und u(t) dar. Dementsprechend ist U*(w)S(w) = Wus(w). Daher werden, wie beim ACF, die Kreuzkorrelationsfunktion und die spektrale Dichte der gegenseitigen Leistung der Signale durch Fourier-Transformationen miteinander in Beziehung gesetzt:

Bsu(t) Û Wsu(w) º W*us(w). (6.3.6)

Bus(t) Û Wus(w) º W*su(w). (6,3,6")

Im allgemeinen Fall, mit Ausnahme der Spektren gerader Funktionen, folgt aus der Bedingung der Nichteinhaltung der Parität für die CCF-Funktionen, dass die gegenseitigen Energiespektren komplexe Funktionen sind:

U(w) = Au(w) + j Bu(w), V(w) = Av(w) + j Bv(w).

Wuv = AuAv+BuBv+j(BuAv - AuBv) = Re Wuv(w) + j Im Wuv(w),

In Abb. In Abb. 6.3.4 können Sie die Besonderheiten der CCF-Bildung am Beispiel zweier gegeneinander verschobener Signale gleicher Form deutlich erkennen.

Reis. 6.3.4. Gründung der VKF.

Die Form der Signale und ihre relative Position sind in Form A dargestellt. Der Modul und das Argument des Spektrums des Signals s(t) sind in Form B dargestellt. Der Spektrumsmodul u(t) ist identisch mit dem Modul S(w). ). Die gleiche Ansicht zeigt den Modul des gegenseitigen Signalleistungsspektrums S(w)U*(w). Bekanntlich werden bei der Multiplikation komplexer Spektren die Beträge der Spektren multipliziert und die Phasenwinkel addiert, während beim konjugierten Spektrum U*(w) der Phasenwinkel das Vorzeichen wechselt. Wenn das erste Signal in der Formel zur Berechnung des CCF (6.2.1) das Signal s(t) ist und das Signal u(t-t) auf der Ordinatenachse vor s(t) liegt, dann sind die Phasenwinkel S(w). ) steigen mit zunehmender Frequenz in Richtung negativer Winkel (ohne Berücksichtigung der periodischen Werterücksetzung um 2p) und die Phasenwinkel U*(w) in absoluten Werten sind kleiner als die Phasenwinkel s( t) und steigen (aufgrund der Konjugation) in Richtung positiver Werte. Das Ergebnis der Multiplikation der Spektren (wie in Abb. 6.3.4, Ansicht C zu sehen) ist die Subtraktion der Winkelwerte U*(w) von den Phasenwinkeln S(w), während die Phasenwinkel der Das Spektrum S(w)U*(w) bleibt im Bereich negativer Werte, was eine Verschiebung der gesamten CCF-Funktion (und ihrer Spitzenwerte) von Null entlang der t-Achse um einen bestimmten Betrag nach rechts gewährleistet (für identische Signale - um den Betrag der Differenz der Signale entlang der Ordinatenachse). Wenn die Anfangslage des Signals u(t) in Richtung des Signals s(t) verschoben wird, verringern sich die Phasenwinkel S(w)U*(w), im Grenzfall auf Nullwerte bei vollständiger Ausrichtung der Signale, während die Funktion Bsu(t) im Grenzfall vor der Umwandlung in ACF (für identische Signale s(t) und u(t)) zu Nullwerten t verschiebt.

Wie bei deterministischen Signalen bekannt ist, sind solche Signale orthogonal zueinander, wenn sich die Spektren zweier Signale nicht überlappen und dementsprechend die gegenseitige Energie der Signale Null ist. Der Zusammenhang zwischen Energiespektren und Korrelationsfunktionen von Signalen zeigt eine andere Seite der Wechselwirkung von Signalen. Wenn sich die Spektren der Signale nicht überlappen und ihr gegenseitiges Energiespektrum bei allen Frequenzen Null ist, dann ist ihr CCF für jede Zeitverschiebung t relativ zueinander ebenfalls Null. Das bedeutet, dass solche Signale unkorreliert sind. Dies gilt sowohl für deterministische als auch für zufällige Signale und Prozesse.

Berechnung von Korrelationsfunktionen mithilfe von FFT ist, insbesondere für lange Zahlenreihen, eine Methode, die zehn- und hundertmal schneller ist als aufeinanderfolgende Verschiebungen im Zeitbereich bei großen Korrelationsintervallen. Der Kern der Methode ergibt sich aus den Formeln (6.3.2) für den ACF und (6.3.6) für den VCF. In Anbetracht der Tatsache, dass der ACF als Sonderfall des CCF für dasselbe Signal betrachtet werden kann, betrachten wir den Berechnungsprozess am Beispiel des CCF für die Signale x(k) und y(k) mit der Anzahl der Abtastwerte K. It beinhaltet:

1. Berechnung der FFT-Spektren der Signale x(k) → X(k) und y(k) → Y(k). Bei unterschiedlicher Anzahl von Samples wird die kürzere Zeile mit Nullen auf die Größe der größeren Zeile aufgefüllt.

2. Berechnung der Leistungsdichtespektren Wxy(k) = X*(k) Y(k).

3. Inverse FFT Wxy(k) → Bxy(k).

Beachten wir einige Merkmale der Methode.

Inverse FFT berechnet bekanntlich die zyklische Faltung der Funktionen x(k) ③ y(k). Wenn die Anzahl der Funktionsproben gleich K ist, ist die Anzahl der komplexen Proben von Funktionsspektren ebenfalls gleich K, ebenso wie die Anzahl der Proben ihres Produkts Wxy(k). Dementsprechend ist die Anzahl der Abtastwerte Bxy(k) während der inversen FFT ebenfalls gleich K und wird zyklisch mit einer Periode gleich K wiederholt. Bei der linearen Faltung vollständiger Signalfelder gemäß Formel (6.2.5) beträgt die Die Größe von nur einer Hälfte des ICF beträgt K Punkte, und die volle bilaterale Größe beträgt 2K Punkte. Folglich werden bei der inversen FFT unter Berücksichtigung der Zyklizität der Faltung ihre Nebenperioden der Hauptperiode des CCF überlagert, wie bei der üblichen zyklischen Faltung zweier Funktionen.

In Abb. 6.3.5 zeigt ein Beispiel für zwei Signale und die VCF-Werte, die durch lineare Faltung (B1xy) und zyklische Faltung per FFT (B2xy) berechnet wurden. Um den Effekt überlappender Nebenperioden zu beseitigen, ist es notwendig, die Signale mit Nullen zu ergänzen, im Grenzfall bis zur Verdoppelung der Anzahl der Abtastwerte, während das FFT-Ergebnis (B3xy-Diagramm in Abbildung 6.3.5) das lineare Ergebnis vollständig wiederholt Faltung (unter Berücksichtigung der Normalisierung für eine Erhöhung der Anzahl der Stichproben).

In der Praxis hängt die Anzahl der Signalerweiterungsnullstellen von der Art der Korrelationsfunktion ab. Die minimale Anzahl von Nullen wird normalerweise als gleich dem signifikanten Informationsteil der Funktionen angenommen, d. h. etwa (3-5) Korrelationsintervalle.

Literatur

1. Baskakov-Schaltungen und -Signale: Lehrbuch für Universitäten. - M.: Höhere Schule, 1988.

19. Angewandte Zeitreihenanalyse. – M.: Mir, 1982. – 428 S.

25. Sergienko-Signalverarbeitung. / Lehrbuch für Universitäten. – St. Petersburg: Peter, 203. – 608 S.

33. Digitale Signalverarbeitung. Praktischer Ansatz. / M., „Williams“, 2004, 992 S.

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