Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Invertibilität einer quadratischen Matrix. Inverse Matrix. Matrixrang

§6. Eigenschaften von Determinanten

§7. inverse Matrix

Nicht-singuläre und singuläre Matrizen

inverse Matrix

Notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer inversen Matrix

Algorithmus zur Berechnung der inversen Matrix anhand der Formel

Berechnung der inversen Matrix mithilfe elementarer Transformationen

§ 6. Eigenschaften von Determinanten

1. Wenn eine Zeile (Spalte) der Matrix gleich Null ist, dann ist ihre Determinante gleich Null.

Folgerung 1. Wenn eine quadratische Matrix zwei identische Zeilen (Spalten) enthält, ist ihre Determinante Null.

Folgerung 2. Wenn die Elemente zweier Zeilen (Spalten) einer Matrix proportional sind, dann ist ihre Determinante gleich Null.

2. Wenn alle Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) einer Matrix mit einer Zahl multipliziert werden, wird ihre Determinante mit dieser Zahl multipliziert.

Kommentar. Das Vorzeichen der Determinante kann als gemeinsamer Faktor einer beliebigen Zeile (Spalte) angesehen werden, im Gegensatz zu einer Matrix, deren Vorzeichen nur als gemeinsamer Faktor aller Elemente angesehen werden kann.

3. Wenn eine Matrix transponiert wird, ändert sich ihre Determinante nicht.

4. Wenn zwei Zeilen (Spalten) einer Matrix vertauscht werden, ändert ihre Determinante das Vorzeichen in das entgegengesetzte.

5. Die Determinante der Matrix ändert sich nicht, wenn zu einer beliebigen Zeile (Spalte) eine weitere Zeile (Spalte) multipliziert mit einer Zahl hinzugefügt wird.

6. Die Determinante des Produkts zweier quadratischer Matrizen ist gleich dem Produkt ihrer Determinanten, d.h.

Kommentar. Auch wenn A∙IN ≠ IN∙A, .

Mithilfe der Eigenschaften von Determinanten können wir also jede Determinante auf eine Dreiecksform reduzieren. Schauen wir uns diesen Prozess anhand eines Beispiels an.

Beispiel. Determinante berechnen

Lösung.

§ 7. inverse Matrix

Für jede Zahl A¹ 0 gibt es eine Umkehrzahl A–1 so dass A· A–1 = 1. Für quadratische Matrizen wird ein ähnliches Konzept eingeführt.

Betrachten Sie eine quadratische Matrix

.

Quadratische Matrix A angerufen nicht entartet, wenn seine Determinante ungleich Null ist, und degenerieren wenn seine Determinante Null ist.

Quadratische Matrix A–1 wird aufgerufen umkehren für eine quadratische Matrix A, wenn ihr Produkt sowohl links als auch rechts gleich der Identitätsmatrix ist:

A · A –1 = A-1 · A = E.

Im Gegensatz zu Zahlen hat nicht jede quadratische Matrix eine Umkehrung.

Satz (notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer inversen Matrix). Damit Matrix A eine Umkehrung hat, ist es notwendig und ausreichend, dass sie nicht entartet ist.

Matrixinverse einer gegebenen.

Nicht jede Matrix hat eine Umkehrung.

Satz 1. Die einfachsten Eigenschaften einer inversen Matrix.

1°. Jede Matrix kann höchstens eine Umkehrung haben.

2°. E –1 = E.

3°. ( A –1) –1 = A.

4°. ( AB) –1 = B –1 A –1 .

Singuläre und nicht singuläre quadratische Matrizen.

Satz 2. Kriterium der Matrixinvertibilität.

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie nicht singulär ist.

Lemma 1. Jede Zeilen- (Spalten-) Elementartransformation einer Matrix kann durch Multiplikation dieser Matrix links (rechts) mit der entsprechenden Elementarmatrix implementiert werden.

Lemma 2. Damit eine Matrix nichtsingulär ist, ist es notwendig und ausreichend, dass sie nur durch zeilenweise Elementartransformationen auf die Identitätsmatrix reduziert werden kann.

Lemma 3. Wenn die Zeilen (Spalten) der Matrix A (B) sind linear abhängig und C = AB, dann gilt für die Zeilen (Spalten) der Matrix genau die gleiche lineare Abhängigkeit MIT.

Eine praktische Methode zur Berechnung der Umkehrmatrix:

A|E ... E|A –1 .

Matrixgleichungen.

Aufzeichnung von SLEs in Form einer Matrixgleichung einer speziellen Form. Cramers Turm in Matrixform.

Permutationen und Substitutionen

Umordnungen. Aufzeichnen einer Permutation. Anzahl der Permutationen N Elemente. Umkehrungen. Gerade und ungerade Permutationen. Transpositionen.

Satz. Eigenschaften von Transpositionen.

1°. Sie können von jeder Permutation zu jeder anderen Permutation wechseln, indem Sie mehrere Transpositionen verwenden.

2°. Jede Transposition verändert die Parität der Permutation.

Auswechslungen. S n. Vertretungen erfassen. Parität der Substitution. Korrektheit der Bestimmung der Parität einer Substitution. Platzhalter. (–1) s (p) .

Definition von Determinante

Definition von Determinante.

Beispiele für die Berechnung der Determinanten von Matrizen zweiter und dritter Ordnung, der Determinante der oberen (unteren) Dreiecksmatrix, der Determinante einer Matrix, in der alle Elemente unterhalb (oberhalb) der Seitendiagonale gleich Null sind.

Eigenschaften der Determinante

Satz. Eigenschaften der Determinante.

1°. det t A= det A.

2°.det = det + det .

3°. det = l×det .

4°. det = –det .

5°. Wenn eine der Zeilen der Matrix Null ist, ist die Determinante der Matrix gleich Null.

6°. Wenn zwei beliebige Zeilen einer Matrix gleich sind, ist die Determinante der Matrix Null.

7°. Wenn zwei beliebige Zeilen einer Matrix proportional sind, ist die Determinante der Matrix Null.

8°. Wenn eine der Zeilen der Matrix mit einer Zahl multipliziert und zu einer anderen Zeile addiert wird, ändert sich die Determinante nicht.

9°. Die Determinante einer singulären Matrix ist gleich Null.

10°. Die Determinante einer nicht singulären Matrix ist ungleich Null.

Notiz. Die Eigenschaften 1°–4° werden per Definition bewiesen, die übrigen Eigenschaften werden aus den Eigenschaften 1°–4° abgeleitet.

Folgerung 1. Kriterium für die Nichtentartung einer Matrix.

Eine quadratische Matrix ist genau dann nicht singulär, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.

Folgerung 2. Ein homogenes System linearer Gleichungen bestehend aus N Gleichungen mit N unbekannt, hat genau dann Lösungen ungleich Null, wenn die Determinante der Systemmatrix gleich Null ist.

Nebensätze und algebraische Komplemente. Zerlegung der Determinante in Zeile und Spalte

Unerheblich M ij quadratische Matrix. Algebraisches Komplement Ein ij Element ein ij quadratische Matrix.

Satzüber Zersetzung.

det A = ein k 1 A k 1 +ein k 2 A k 2 + ... +ein kn Ein kn, det A = A 1k A 1k +A 2k A 2k + ... +a nk A nk

für jeden k =

Beweisschritte

1. Für eine Matrix, in der Ein = e n, per Definition det.

2. Für eine Matrix, in der A i = e j, durch Reduktion auf Fall 1 unter Berücksichtigung des Vorzeichens A i und Unveränderlichkeit M ij.

3. Allgemeiner Fall durch Vertretung A i als Summe N Vektoren und Reduktion auf Fall 2.

Eine weitere Eigenschaft der Determinante

11°. ein k 1 A p 1 +ein k 2 A p 2 + ... +ein kn Ein pn,A 1 k A 1 P+A 2 k A 2 P+ ... +a nk A np, Wenn k ¹ P.

Es sei eine quadratische Matrix n-ter Ordnung

Matrix A -1 wird aufgerufen inverse Matrix in Bezug auf Matrix A, wenn A*A -1 = E, wobei E die Identitätsmatrix n-ter Ordnung ist.

Identitätsmatrix- eine solche quadratische Matrix, in der alle Elemente entlang der Hauptdiagonale, die von der oberen linken Ecke zur unteren rechten Ecke verlaufen, Einsen und der Rest Nullen sind, zum Beispiel:

inverse Matrix kann existieren nur für quadratische Matrizen diese. für diejenigen Matrizen, bei denen die Anzahl der Zeilen und Spalten übereinstimmt.

Satz für die Existenzbedingung einer inversen Matrix

Damit eine Matrix eine inverse Matrix hat, ist es notwendig und ausreichend, dass sie nicht singulär ist.

Die Matrix A = (A1, A2,...A n) wird aufgerufen nicht entartet, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren einer Matrix wird als Rang der Matrix bezeichnet. Daher können wir sagen, dass es für die Existenz einer inversen Matrix notwendig und ausreichend ist, dass der Rang der Matrix gleich ihrer Dimension ist, d.h. r = n.

Algorithmus zum Finden der inversen Matrix

1. Schreiben Sie die Matrix A in die Tabelle zur Lösung von Gleichungssystemen nach der Gaußschen Methode und weisen Sie ihr rechts (anstelle der rechten Seite der Gleichungen) die Matrix E zu.
2. Reduzieren Sie Matrix A mithilfe von Jordan-Transformationen auf eine Matrix, die aus Einheitsspalten besteht. In diesem Fall ist es notwendig, gleichzeitig die Matrix E zu transformieren.
3. Ordnen Sie bei Bedarf die Zeilen (Gleichungen) der letzten Tabelle neu an, sodass Sie unter der Matrix A der Originaltabelle die Identitätsmatrix E erhalten.
4. Schreiben Sie die inverse Matrix A -1 auf, die sich in der letzten Tabelle unter der Matrix E der Originaltabelle befindet.

Beispiel 1

Finden Sie für Matrix A die inverse Matrix A -1

Lösung: Wir schreiben Matrix A und weisen rechts die Identitätsmatrix E zu. Mithilfe von Jordan-Transformationen reduzieren wir Matrix A auf die Identitätsmatrix E. Die Berechnungen sind in Tabelle 31.1 angegeben.

Überprüfen wir die Richtigkeit der Berechnungen, indem wir die ursprüngliche Matrix A und die inverse Matrix A -1 multiplizieren.

Als Ergebnis der Matrixmultiplikation wurde die Identitätsmatrix erhalten. Daher wurden die Berechnungen korrekt durchgeführt.

Antwort:

Lösen von Matrixgleichungen

Matrixgleichungen können wie folgt aussehen:

AX = B, HA = B, AXB = C,

wobei A, B, C die angegebenen Matrizen sind, X die gewünschte Matrix ist.

Matrixgleichungen werden durch Multiplikation der Gleichung mit inversen Matrizen gelöst.

Um beispielsweise die Matrix aus der Gleichung zu ermitteln, müssen Sie diese Gleichung links mit multiplizieren.

Um eine Lösung der Gleichung zu finden, müssen Sie daher die inverse Matrix finden und sie mit der Matrix auf der rechten Seite der Gleichung multiplizieren.

Andere Gleichungen werden auf ähnliche Weise gelöst.

Beispiel 2

Lösen Sie die Gleichung AX = B, wenn

Lösung: Da die inverse Matrix gleich ist (siehe Beispiel 1)

Matrixmethode in der Wirtschaftsanalyse

Sie werden unter anderem auch verwendet Matrixmethoden. Diese Methoden basieren auf linearer Algebra und Vektor-Matrix-Algebra. Solche Methoden werden zur Analyse komplexer und mehrdimensionaler wirtschaftlicher Phänomene eingesetzt. Am häufigsten werden diese Methoden verwendet, wenn eine vergleichende Bewertung der Funktionsweise von Organisationen und ihrer Struktureinheiten erforderlich ist.

Bei der Anwendung von Matrixanalysemethoden lassen sich mehrere Phasen unterscheiden.

In der ersten Phase Es wird ein System von Wirtschaftsindikatoren erstellt und auf dieser Grundlage eine Matrix von Ausgangsdaten erstellt, bei der es sich um eine Tabelle handelt, in der die Systemzahlen in den einzelnen Zeilen aufgeführt sind (i = 1,2,....,n) und in vertikalen Spalten - Anzahl der Indikatoren (j = 1,2,....,m).

In der zweiten Phase Für jede vertikale Spalte wird der größte der verfügbaren Indikatorwerte identifiziert, der als eins angenommen wird.

Anschließend werden alle in dieser Spalte angezeigten Beträge durch den größten Wert dividiert und eine Matrix standardisierter Koeffizienten gebildet.

In der dritten Stufe Alle Komponenten der Matrix sind quadriert. Bei unterschiedlicher Bedeutung wird jedem Matrixindikator ein bestimmter Gewichtskoeffizient zugeordnet k. Der Wert des letzteren wird durch ein Gutachten ermittelt.

Beim letzten, vierte Stufe Bewertungswerte gefunden Rj werden in der Reihenfolge ihrer Zunahme oder Abnahme gruppiert.

Die beschriebenen Matrixmethoden sollten beispielsweise bei einer vergleichenden Analyse verschiedener Investitionsvorhaben sowie bei der Bewertung anderer wirtschaftlicher Indikatoren der Aktivitäten von Organisationen eingesetzt werden.

Inverse Matrix · Matrix B heißt die Umkehrung der Matrix, wenn die Gleichheit wahr ist: . Bezeichnung: − Nur quadratisch Eine Matrix kann eine inverse Matrix haben. − Nicht jedes Quadrat Matrix hat eine inverse Matrix. Eigenschaften: 1. ; 2. ; 3. , wobei die Matrizen quadratisch und gleich dimensioniert sind. Wenn für nichtquadratische Matrizen ein Produkt möglich ist, das eine quadratische Matrix ist, ist im Allgemeinen auch die Existenz einer inversen Matrix möglich , obwohl die 3-Eigenschaft verletzt ist. Um die inverse Matrix zu finden, können Sie die Methode der elementaren Zeilentransformationen verwenden: 1. Erstellen Sie eine erweiterte Matrix, indem Sie rechts von der Originalmatrix eine Identitätsmatrix der entsprechenden Dimension zuweisen: . 2. Elementare Transformationen von Matrixzeilen G führen zu der Form: . − erforderlicher Rang der Matrix · Der Minor der k-ten Ordnung einer Matrix ist eine Determinante, die aus Elementen der ursprünglichen Matrix besteht und sich am Schnittpunkt von beliebigen k Zeilen und k Spalten befindet ( ). Kommentar. Jedes Element der Matrix ist sein Moll 1. Ordnung. Satz. Wenn in einer Matrix alle Minderjährigen k-ter Ordnung gleich Null sind, dann sind alle Minderjährigen höherer Ordnung gleich Null. Erweitern wir das Moll (Determinante) ( k+1)ter Ordnung durch die Elemente der 1. Zeile: . Algebraische Komplemente sind im Wesentlichen Minorkomplemente k- Ordnung, die nach den Bedingungen des Satzes gleich Null sind. Somit, . · In einer Ordnungsmatrix wird ein Untergeordneter der Ordnung als einfach bezeichnet, wenn er ungleich Null ist und alle Untergeordneten der Ordnung und höher gleich Null sind oder überhaupt nicht existieren, d. h. entspricht der kleineren der Zahlen oder . Die Spalten und Zeilen der Matrix, aus denen die Basis Minor hervorgeht, werden Basis genannt. Eine Matrix kann mehrere verschiedene Basisminorwerte haben, die dieselbe Reihenfolge haben. · Die Ordnung der Basisminor einer Matrix wird als Rang der Matrix bezeichnet Und bezeichnet durch: , . Es ist klar, dass . Zum Beispiel. 1. , . 2. . Matrix IN enthält ein einzelnes Element ungleich Null, das ein Nebenelement 1. Ordnung ist. Alle Determinanten höherer Ordnung enthalten die 0. Zeile und sind daher gleich 0. Daher ist . inverse Matrix 4. Systeme linearer Gleichungen. Grundlegendes Konzept. System linearer algebraischer Gleichungen ( lineares System Es werden auch Abkürzungen verwendet SLAU, SLU) – ein Gleichungssystem, wobei jede Gleichung eine linear-algebraische Gleichung ersten Grades ist. Gesamtansicht des Systems linearer algebraischer Gleichungen: Hier ist die Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der Variablen, die zu bestimmenden Unbekannten, Koeffizienten und freien Terme werden als bekannt vorausgesetzt. Das System heißt homogen, wenn alle seine freien Terme gleich Null sind (), andernfalls - heterogen. Die Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen ist eine Menge von Zahlen, so dass die entsprechende Substitution in das System alle seine Gleichungen in Identitäten umwandelt. Ein System heißt konsistent, wenn es mindestens eine Lösung hat, und inkonsistent, wenn es keine Lösung hat. Lösungen gelten als unterschiedlich, wenn mindestens einer der Werte der Variablen nicht übereinstimmt. Ein gemeinsames System mit einer einzigen Lösung heißt definit; wenn es mehr als eine Lösung gibt, heißt es unterbestimmt. Matrixform Ein System linearer algebraischer Gleichungen kann in Matrixform dargestellt werden als: oder: . Hier ist die Matrix des Systems, die Spalte der Unbekannten und die Spalte der freien Terme. Wenn rechts von einer Matrix eine Spalte mit freien Termen hinzugefügt wird, dann wird die resultierende Matrix als erweitert bezeichnet. Kronecker-Capelli-Theorem Kronecker-Capelli-Theorem legt eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Kompatibilität eines Systems linearer algebraischer Gleichungen durch die Eigenschaften von Matrixdarstellungen fest: Ein System ist genau dann kompatibel, wenn der Rang seiner Matrix mit dem Rang der erweiterten Matrix übereinstimmt. Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Matrixmethode Es sei ein System linearer Gleichungen mit Unbekannten (über einem beliebigen Feld) gegeben: Schreiben wir es in Matrixform um: Die Lösung des Systems finden wir mit der Formel. Die inverse Matrix finden wir mit der Formel: , wobei es sich um die transponierte Matrix algebraischer Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix handelt. Wenn ja, dann existiert die inverse Matrix nicht und es ist unmöglich, das System mit der Matrixmethode zu lösen. In diesem Fall wird das System mit der Gaußschen Methode gelöst. Die Cramer-Methode (Cramer-Regel) ist eine Methode zur Lösung von SLAEs, bei der die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten mit einer Hauptdeterminante der Matrix ungleich Null ist. Für ein System linearer Gleichungen mit Unbekannten Wir ersetzen die i-te Spalte der Matrix durch eine Spalte mit freien Termen b Beispiel: System linearer Gleichungen mit reellen Koeffizienten: Qualifikanten: Bei Determinanten wird die Spalte mit den Koeffizienten für die entsprechende Unbekannte durch eine Spalte mit freien Termen des Systems ersetzt. Lösung: 5. Gaußsche Methode Lösungsalgorithmus: 1. Schreiben Sie die erweiterte Matrix. 2. Reduzieren Sie sie durch Elementartransformationen auf eine schrittweise Form. 3. Kehren Sie den Vorgang um, bei dem wir die Basisterme durch freie Terme ausdrücken. Eine erweiterte Matrix wird durch Hinzufügen einer Spalte mit Dummy-Begriffen zur Matrix erhalten. Es gibt folgende elementare Transformationen: 1. Die Zeilen der Matrix können neu angeordnet werden. 2. Wenn proportionale (im Sonderfall identische) Zeilen in der Matrix vorhanden sind (oder erschienen sind), sollten alle diese Zeilen bis auf eine aus der Matrix entfernt werden. 3. Wenn bei Transformationen eine Nullzeile in der Matrix erscheint, sollte diese ebenfalls gelöscht werden. 4. Eine Matrixzeile kann mit einer beliebigen Zahl multipliziert (dividiert) werden, ungleich Null. 5. Sie können einer Matrixzeile eine weitere Zeile hinzufügen, multipliziert mit einer anderen Zahl als Null. Elementare Transformationen verändern die Lösung des Gleichungssystems nicht. Umgekehrt: Normalerweise werden diejenigen Variablen als Basisvariablen verwendet, die in den Nicht-Null-Zeilen der transformierten Matrix des Systems an den ersten Stellen stehen, d.h. auf den Stufen". Als nächstes werden die Basisbedingungen als freie Bedingungen ausgedrückt. Wir gehen „von unten nach oben“ vor, indem wir gleichzeitig die Basisterme ausdrücken und die Ergebnisse in die höhere Gleichung einsetzen. Beispiel: Basisvariablen „sitzen“ immer streng auf den Stufen der Matrix. In diesem Beispiel sind die Basisvariablen und die freien Variablen alle übrigen Variablen, die keinen Schritt erhalten haben. In unserem Fall gibt es zwei davon: – freie Variablen. Jetzt brauchen Sie alles Grundvariablen nur durch ausdrücken freie Variablen. Die Umkehrung des Gaußschen Algorithmus funktioniert traditionell von unten nach oben

Für jede Zahlen a¹0 es gibt eine Umkehrzahl a -1 so dass die Arbeit a×a -1 =1. Ein ähnliches Konzept wird für quadratische Matrizen eingeführt.

Definition. Wenn es quadratische Matrizen X und A derselben Ordnung gibt, die die Bedingung erfüllen:

wobei E die Identitätsmatrix derselben Ordnung wie die Matrix A ist, dann heißt die Matrix X umkehren zur Matrix A und wird mit A -1 bezeichnet.

Aus der Definition folgt, dass nur eine quadratische Matrix eine Umkehrung hat; In diesem Fall ist die Umkehrmatrix ebenfalls ein Quadrat derselben Ordnung.

Allerdings hat nicht jede quadratische Matrix eine Umkehrung. Wenn der Zustand a¹0 ist notwendig und ausreichend für die Existenz einer Zahl a -1, dann ist für die Existenz der Matrix A -1 eine solche Bedingung die Anforderung DA ¹0.

Definition. Quadratische Matrix N-te Ordnung heißt nicht entartet (nicht singulär), wenn seine Determinante DA ist ¹0.

Wenn DA= 0 , dann heißt Matrix A degeneriert (besonders).

Satz(eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer inversen Matrix). Wenn eine quadratische Matrix nicht speziell(d. h. ihre Determinante ist ungleich Null), dann existiert für sie der Einzige inverse Matrix.

Nachweisen.

ICH. Notwendigkeit. Angenommen, die Matrix A habe ein inverses A -1, d. h. AA -1 = A -1 A=E. Von Eigentum 3 Determinanten ( § 11) Wir haben D(AA -1)= D(A -1) D(A)= D(E)=1, d.h. D.A. ¹0 und DA-1 ¹0.

Ich ich. Angemessenheit. Die quadratische Matrix A sei nicht singulär, d.h. D.A. ¹0 . Schreiben wir die transponierte Matrix A T:

In dieser Matrix ersetzen wir jedes Element durch sein algebraisches Komplement und erhalten die Matrix:

Die Matrix A* heißt beigefügt Matrix zu Matrix A.

Finden wir das Produkt AA * (und A * A):

Wo Diagonale Elemente = DA,

DA.(Formel 11.1 §elf)

Und alle anderen außerhalb der Diagonale Elemente der Matrix AA * sind gleich Null Eigentum 10 §11, Zum Beispiel:

usw. Somit,

AA * = oder AA * = DA= DA×E.

Ebenso wird bewiesen, dass A * A = DA×E.

Wenn wir beide erhaltenen Gleichungen durch DA dividieren, erhalten wir: . Dies impliziert nach der Definition einer inversen Matrix die Existenz einer inversen Matrix

Weil AA -1 =A -1 A=E.

Die Existenz einer inversen Matrix wurde nachgewiesen. Lassen Sie uns Einzigartigkeit beweisen. Angenommen, es gibt eine weitere inverse Matrix F für Matrix A, dann ist AF = E und FA = E. Wenn wir beide Seiten der ersten Gleichheit links mit A -1 und rechts mit A -1 multiplizieren, erhalten wir: A -1 AF = A - 1 E und FA A -1 = E A -1, woraus EF = A -1 E und FE = E A -1. Daher ist F = A -1. Einzigartigkeit ist bewiesen.

Beispiel. Finden Sie bei einer gegebenen Matrix A = A -1 .

Algorithmus zur Berechnung der inversen Matrix:

Eigenschaften inverser Matrizen.

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (A T) -1 = (A -1) T .

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Betrachten wir die Matrizen

Darüber hinaus sind die Elemente der Matrizen A und B angegeben und X 1, X 2, X 3 unbekannt.

Dann heißt die Gleichung A × X = B die einfachste Matrixgleichung.

Um es zu lösen, d.h. Um die Elemente der Unbekanntenmatrix X zu finden, gehen wir wie folgt vor:

1. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit Matrix A -1, der Umkehrung von Matrix A , links:

A -1 (A × X) = A -1 × B

2. Unter Verwendung der Eigenschaft der Matrixmultiplikation schreiben wir

(A -1 × A) X = A -1 × B

3. Aus der Definition einer inversen Matrix

(A -1 × A = E) wir haben E × X = A -1 × B.

4. Unter Verwendung der Eigenschaft der Identitätsmatrix (E × X = X) erhalten wir schließlich X = A -1 × B

Kommentar. Wenn die Matrixgleichung die Form X × C = D hat, muss die Gleichung mit C -1 multipliziert werden, um die unbekannte Matrix X zu finden rechts.

Beispiel. Lösen Sie die Matrixgleichung

Lösung. Lassen Sie uns die Notation einführen

Ihre Definition der Matrixmultiplikation unter Berücksichtigung der Dimensionen A und B ergibt, dass die Unbekanntenmatrix X die Form haben wird

Unter Berücksichtigung der eingeführten Notation haben wir

A × X = B, woraus X = A -1 × B

Finden wir A -1 mithilfe des Algorithmus zum Erstellen der inversen Matrix

Berechnen wir das Produkt

Dann erhalten wir für X

X = woher x 1 = 3, x 2 = 2

Matrixrang

Betrachten Sie eine Matrix A der Größe (m x n)

Der Minor k-ter Ordnung einer Matrix A ist die Determinante der Ordnung k, deren Elemente die Elemente der Matrix A sind, die am Schnittpunkt aller K Zeilen und K Spalten stehen. Offensichtlich k £ min (m, n).

Definition. Der Rang r(A) einer Matrix A ist die höchste Ordnung des von Null verschiedenen Minor dieser Matrix.

Definition. Jeder Nebenwert einer Matrix ungleich Null, dessen Ordnung seinem Rang entspricht, wird aufgerufen grundlegendes Nebenfach.

Definieren e. Matrizen mit gleichem Rang werden aufgerufen Äquivalent.

Berechnung des Matrixrangs

Definition. Die Matrix heißt trat, wenn das erste Nicht-Null-Element jeder Zeile Nullen in den zugrunde liegenden Zeilen enthält.

Satz. Der Rang einer Staffelmatrix entspricht der Anzahl ihrer Zeilen ungleich Null.

Durch die Umwandlung der Matrix in eine Staffelform ist es daher einfach, ihren Rang zu bestimmen. Dieser Vorgang wird mit ausgeführt elementare Matrixtransformationen, die ihren Rang nicht ändern:

— Multiplikation aller Elemente der Matrixzeile mit der Zahl l ¹ 0;

- Ersetzen von Zeilen durch Spalten und umgekehrt;

— Neuanordnung paralleler Reihen;

— die Nullreihe durchstreichen;

- Addieren der entsprechenden Elemente einer parallelen Reihe zu den Elementen einer bestimmten Reihe, multipliziert mit einer beliebigen reellen Zahl.

Beispiel.

Satz (notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer inversen Matrix).

Berechnen Sie den Matrixrang

A =

Lösung. Lassen Sie uns die Matrix in eine Staffelform umwandeln. Addieren Sie dazu die zweite Zeile zur dritten Zeile, multipliziert mit (-3).

A~

Fügen wir der vierten Zeile ein Drittel hinzu.

Die Anzahl der Zeilen ungleich Null in der resultierenden äquivalenten Matrix beträgt drei, daher ist r(A) = 3.

Systeme aus n linearen Gleichungen mit n Unbekannten.

Methoden zu ihrer Lösung

Betrachten Sie ein System aus n linearen Gleichungen mit n Unbekannten.

A 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2 (1)

……………………………….

a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + … + a nn x n = b n

Definition: Die Lösung für System (1) ist eine Menge von Zahlen (x 1, x 2, ..., x n), die jede Gleichung des Systems in eine echte Gleichheit umwandelt.

Matrix A, bestehend aus Koeffizienten für Unbekannte, wird aufgerufen Hauptmatrix des Systems (1).

A=

Matrix B, bestehend aus Elementen der Matrix A und einer Spalte freier Terme des Systems (1), wird aufgerufen erweiterte Matrix.

B =

Matrix-Methode

Betrachten wir die Matrizen

X = — Matrix der Unbekannten;

С = ist die Matrix der freien Terme des Systems (1).

Dann lässt sich System (1) nach der Regel der Matrixmultiplikation als Matrixgleichung darstellen

A × X = C (2)

Die Lösung der Gleichung (2) ist oben angegeben, das heißt X = A –1 × C, wobei A –1 die inverse Matrix für die Hauptmatrix des Systems (1) ist.

Cramer-Methode

Ein System von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten, deren Hauptdeterminante ungleich Null ist, hat immer eine Lösung und darüber hinaus eine eindeutige, die nach den Formeln gefunden wird:

wobei D = det A die Determinante der Hauptmatrix A des Systems (1) ist, die als Hauptmatrix bezeichnet wird. Dх i erhält man aus der Determinante D, indem man die i-te Spalte durch eine Spalte mit freien Termen ersetzt, d.h.

Dx 1 = ;

Dx 2 = ; … ;

Beispiel.

Lösen Sie ein Gleichungssystem mit der Cramer-Methode

2x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 15

x 1 + x 2 + 5x 3 = 16

3x 1 - 2x 2 + x 3 = 1

Lösung.

Berechnen wir die Determinante der Hauptmatrix des Systems

D = det A = = 44 ¹ 0

Berechnen wir Hilfsdeterminanten

Dx 3 = = 132.

Mithilfe der Cramer-Formeln finden wir die Unbekannten

; ; .

Somit ist x 1 = 0; x 2 = 1; x 3 = 3.

Gauß-Methode

Das Wesentliche der Gauß-Methode ist die sequentielle Eliminierung von Unbekannten aus den Gleichungen des Systems, d.h. bei der Reduzierung der Hauptmatrix des Systems auf eine Dreiecksform, wenn sich unter ihrer Hauptdiagonale Nullen befinden. Dies wird durch elementare Matrixtransformationen über die Zeilen erreicht. Durch solche Transformationen wird die Äquivalenz des Systems nicht verletzt und es erhält zudem eine Dreiecksform, d.h. die letzte Gleichung enthält eine Unbekannte, die vorletzte zwei usw. Indem man die n-te Unbekannte aus der letzten Gleichung ausdrückt und die Rückwärtsbewegung unter Verwendung einer Reihe aufeinanderfolgender Substitutionen verwendet, erhält man die Werte aller Unbekannten.

Beispiel. Lösen Sie ein Gleichungssystem mit der Gauß-Methode

3x 1 + 2x 2 + x 3 = 17

2x 1 - x 2 + 2x 3 = 8

x 1 + 4x 2 - 3x 3 = 9

Lösung. Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und reduzieren die darin enthaltene Matrix A auf eine Dreiecksform.

Vertauschen wir die erste und dritte Zeile der Matrix, was einer Neuordnung der ersten und dritten Gleichung des Systems entspricht. Dadurch können wir das Auftreten von Bruchausdrücken in nachfolgenden Berechnungen vermeiden

B~

Wir multiplizieren die erste Zeile der resultierenden Matrix nacheinander mit (-2) und (-3) und addieren sie mit der zweiten bzw. dritten Zeile, und B hat die Form:

Nachdem die zweite Zeile mit multipliziert und zur dritten Zeile addiert wurde, nimmt Matrix A eine dreieckige Form an. Um die Berechnungen zu vereinfachen, können Sie jedoch Folgendes tun: Multiplizieren Sie die dritte Zeile mit (-1) und addieren Sie sie zur zweiten. Dann erhalten wir:

B~

B~

Stellen wir aus der resultierenden Matrix B ein dazu äquivalentes Gleichungssystem wieder her

X 1 + 4x 2 - 3x 3 = 9

x 2 - 2x 3 = 0

— 10x 3 = -10

Aus der letzten Gleichung finden wir Wir setzen den gefundenen Wert x 3 = 1 in die zweite Gleichung des Systems ein, woraus x 2 = 2x 3 = 2 × 1 = 2.

Nachdem wir x 3 = 1 und x 2 = 2 in die erste Gleichung für x 1 eingesetzt haben, erhalten wir x 1 = 9 - 4x 2 + 3x 3 = 9 - 4 × 2 + 3 × 1 = 4.

Also x 1 = 4, x 2 = 2, x 3 = 1.

Kommentar. Um die Richtigkeit der Lösung eines Gleichungssystems zu überprüfen, ist es notwendig, die gefundenen Werte der Unbekannten in jede der Gleichungen dieses Systems einzusetzen. Wenn außerdem alle Gleichungen zu Identitäten werden, ist das System korrekt gelöst.

Untersuchung:

3 × 4 + 2 × 2 + 1 = 17 richtig

2 × 4 – 2 + 2 × 1 = 8 richtig

4 + 4 × 2 – 3 × 1 = 9 richtig

Das System ist also richtig gelöst.

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Lesen Sie auch:

Die einfachsten Matrixgleichungen

Dabei sind Matrizen so groß, dass alle verwendeten Operationen möglich sind, und die linke und rechte Seite dieser Matrixgleichungen sind Matrizen gleicher Größe.

Die Lösung der Gleichungen (1)–(3) ist bei nicht entarteten Matrizen für X unter Verwendung inverser Matrizen möglich. Im allgemeinen Fall wird die Matrix an den Matrizen durchgeführt. Als Ergebnis erhält man ein lineares Gleichungssystem. Nachdem Sie das System gelöst haben, finden Sie die Elemente der Matrix X.

Methode der inversen Matrix

Dies ist eine Lösung für ein lineares Gleichungssystem im Fall einer quadratischen nicht singulären Matrix des Systems A. Sie ergibt sich aus der Matrixgleichung AX=B.

A -1 (AX)=A -1 V, (A -1 A)X=A -1 V, EX= A -1 V, X= A -1 V.

Cramers Formeln

Satz.Sei Δ — ist die Determinante der Matrix des Systems A, und Δ j ist die Determinante der Matrix, die aus Matrix A durch Ersetzen der j-ten Spalte freier Terme erhalten wird. Dann, wenn Δ≠ 0, dann hat das System eine eindeutige Lösung, bestimmt durch die Formeln:

- Cramers Formeln.

DZ 1. 2,23, 2,27, 2,51,2,55, 2,62; DZ 2.2.19, 2.26, 2.40,2.65

Thema 4. Komplexe Zahlen und Polynome

Komplexe Zahlen und Operationen darauf

Definitionen.

1. Wir werden uns darauf einigen, ein Symbol der Form a + bi, wobei a und b beliebige reelle Zahlen sind, eine komplexe Zahl zu nennen.

2. Wir sind uns einig, komplexe Zahlen a + bi und a 1 + b 1 i als gleich zu betrachten, wenn a = a 1 und

b = b 1 .

3. Wir stimmen darin überein, eine komplexe Zahl der Form a + 0i gleich der reellen Zahl a zu betrachten.

4. Die Summe zweier komplexer Zahlen a + bi und a 1 + b 1 i heißt komplexe Zahl (a + a 1) + (b + b 1)i.

Inverse Matrix. Matrixrang.

Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist die komplexe Zahl aa 1 – bb 1 + (a b 1 +a 1 b)i.

Komplexe Zahl der Form 0 + Bi heißt eine rein imaginäre Zahl und wird normalerweise so geschrieben: Bi; Zahl 0 +1 ich = ich angerufen imaginäre Einheit.

Nach Definition 3 jede reelle Zahl A entspricht einer „gleichen“ komplexen Zahl a+0i und umgekehrt - zu jeder komplexen Zahl a+0i entspricht einer „gleichen“ reellen Zahl A, das heißt, es besteht eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen diesen Zahlen. Betrachten wir die Summe und das Produkt komplexer Zahlen a 1 + 0i und a 2 + 0i Nach den Regeln 4 und 5 erhalten wir:

(a 1 + 0i) + (a 2 + 0i) = (a 1 + a 2) + 0i,

(a 1 + 0i) (a 2 + 0i) = (a 1 a 2 – 0) + (a 1 0+a 2 0) i = a 1 a 2 + 0i.

Wir sehen, dass die Summe (oder das Produkt) dieser komplexen Zahlen einer reellen Zahl entspricht, die „gleich“ der Summe (oder dem Produkt) der entsprechenden reellen Zahlen ist. Also die Entsprechung zwischen komplexen Zahlen der Form a+0i und reelle Zahl A ist so, dass als Ergebnis der Durchführung arithmetischer Operationen an den entsprechenden Komponenten entsprechende Ergebnisse erhalten werden. Eine Eins-zu-eins-Entsprechung, die beim Ausführen von Aktionen beibehalten wird, wird aufgerufen Isomorphismus. Dadurch können wir die Nummer identifizieren a+0i mit reeller Zahl A und betrachten Sie jede reelle Zahl als Sonderfall einer komplexen Zahl.

Folge. Zahlenquadrat ich gleich – 1.

i 2 = i i = (0 +1i)(0 +1i) = (0 – 1) + (0 1 + 1 0)i =— 1.

Satz.Für die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen bleiben die grundlegenden Operationsgesetze in Kraft.

Definitionen:

1. Die reelle Zahl a heißt Realteil der komplexen Zahl z = a + bi. Rez=a

2. Die Zahl b heißt Imaginärteil der komplexen Zahl z, die Zahl b heißt Koeffizient des Imaginärteils von z. Imz=b.

3. Die Zahlen a + bi und a – bi heißen konjugiert.

Konjugierte Zahl z = a + bi wird durch das Symbol angezeigt

= a - bi.

Beispiel. z =3 + i,= 3 - ich.

Satz.Die Summe und das Produkt zweier konjugiert komplexer Zahlen sind reell.

Nachweisen. Wir haben

In der Menge der komplexen Zahlen kann die Umkehrung von Addition und Multiplikation durchgeführt werden.

Subtraktion. Lassen z 1 = a 1 + b 1 i Und z 2 = a 2 + b 2 i sind komplexe Zahlen. Unterschied z 1 – z 2 es gibt eine nummer z = x + y i, die Bedingung erfüllend z 1 = z 2 + z oder

a 1 + b 1 i = (a 2 + x) + (b 2 + y)i.

Zur Bestimmung X Und j wir erhalten ein Gleichungssystem a 2 + x = a 1 Und b 2 + y = b 1, das eine einzigartige Lösung hat:

x = a 1 - a 2, y = b 1 - b 2,

z = (a 1 + b 1 i) – (a 2 + b 2 i) = a 1 – a 2 + (b 1 – b 2)i.

Die Subtraktion kann durch eine Addition mit der entgegengesetzten Zahl zur subtrahierten Zahl ersetzt werden:

z = (a 1 + b 1 i) – (a 2 + b 2 i) = (a 1 + b 1 i) + (- a 2 – b 2 i).

Aufteilung.

Quotient von Zahlen z 1 Und z 2≠ 0 ist eine Zahl z = x + y i, die Bedingung erfüllend z 1 = z 2 z oder

a 1 + b 1 i = (a 2 + b 2 i) (x + yi),

somit,

a 1 + b 1 i = a 2 x - b 2 y+ (b 2 x + a 2 y)i,

woher wir das Gleichungssystem erhalten:

a 2 x - b 2 y = a 1 ,

b 2 x + a 2 y = b 1 .

Die Lösung dafür wird sein

somit,

Um den Quotienten zu ermitteln, multiplizieren Sie in der Praxis den Dividenden und den Divisor mit dem Konjugat des Divisors:

Zum Beispiel,

Insbesondere die Umkehrung einer bestimmten Zahl z, kann in der Form dargestellt werden

Notiz. In der Menge der komplexen Zahlen bleibt gültig Satz: ist das Produkt gleich Null, dann ist mindestens einer der Faktoren gleich Null.

Tatsächlich, wenn z 1 z 2 =0 und wenn z 1 ≠ 0, dann multiplizieren wir mit , wir erhalten

Q.E.D.

Bei der Durchführung arithmetischer Operationen mit komplexen Zahlen sollten Sie sich an der folgenden allgemeinen Regel orientieren: Aktionen werden gemäß den üblichen Regeln für Aktionen auf algebraische Ausdrücke ausgeführt, gefolgt vom Ersetzen von i 2 durch-1.

Satz.Wenn jede Komponente durch ihre konjugierte Zahl ersetzt wird, wird auch das Ergebnis der Aktion durch ihre konjugierte Zahl ersetzt.

Der Beweis liegt in der direkten Verifikation. Also zum Beispiel, wenn jeder Begriff z 1 = a 1 + b 1 i Und z 2 = a 2 + b 2 i durch die konjugierte Zahl ersetzen, erhalten wir das Konjugat der Summe z 1 + z 2 .

daher,

Ähnliches gilt für das Produkt, das wir haben:

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Matrixgleichungen

Katalin David

AX = B, wobei Matrix A invertierbar ist

Da die Matrixmultiplikation nicht immer kommutativ ist, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung von links mit $ A^(-1) $.

$A^(-1)\cdot|A\cdot X = B$

$A^(-1)\cdot A\cdot X = A^(-1)\cdot B$

$I_(n)\cdot X = A^(-1)\cdot B$

$\color(red)(X =A^(-1)\cdot B)$

Beispiel 50
Löse die Gleichung
$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot X \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

Satz 2. Kriterium für die Existenz einer inversen Matrix.

Wir multiplizieren von links mit seiner inversen Matrix.
$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot X= \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

$I_(2)\cdot X = \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end( pmatrix)$

$X=\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\rightarrow X= \ begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -9 & -22 \\ 4 & 9 \end(pmatrix)$

XA = B, wobei Matrix A invertierbar ist

Da die Matrixmultiplikation nicht immer kommutativ ist, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung rechts mit $ A^(-1) $.

$X\cdot A = B |\cdot A^(-1)$

$X\cdot A\cdot A^(-1) = B\cdot A^(-1)$

$X \cdot I_(n) =B\cdot A^(-1)$

Die Lösung der Gleichung hat die allgemeine Form
$\color(red)(X =B\cdot A^(-1))$

Beispiel 51
Löse die Gleichung
$X \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end(pmatrix)$

Stellen wir sicher, dass die erste Matrix invertierbar ist.
$\left|A\right|=5-6=-1\neq 0$, daher ist die Matrix invertierbar.

Wir multiplizieren rechts mit der inversen Matrix.
$X \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix ) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$X\cdot I_(2)= \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(- 1)$

$X=\begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\rightarrow X= \ begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix) \cdot \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -5 & 4\ \ -8 & 5 \end(pmatrix)$

MatrizenMatrixmultiplikationDeterminantenMatrixrangInverse MatrizenGleichungssystemeRechner für Matrizen

intl. Erstaunen, Überraschung; Freude, Hoffnung; Plötzlichkeit, Schrecken; Trauer, Verzweiflung. Oh, wie gut! Ach, wenn es nur so wäre! Oh, wie hast du mich erschreckt! Oh, und winke mit den Händen. Oh, oh, aber es gibt nichts, womit man helfen könnte. Ah, Richter, Richter: vier Röcke, acht Taschen.

| Manchmal wird ah zu einem Substantiv. , Ehemann. Ahhs, ohhs und Frauenseufzer. Was war da an Keuchen, Überraschung, Freude? Ahti, ahhli für mich, ein Ausruf der Trauer, Traurigkeit; Ach; Ich bin so aufgeregt, alle meine Kameraden sind im Gefängnis – wird es auch etwas für mich geben? Ohti-axmul irgendwie heiraten? Für mich nicht so heiß, nicht großartig, nicht besonders gut. Ahkhanki, Akhanki, drückt für mich sozusagen Mitgefühl für sich selbst oder für einen anderen aus. Oh, wie bei kleinen Kindern ist das eine Art Begrüßung. Keuchen, keuchen, keuchen, staunen; sich über etwas freuen, trauern, stöhnen, ausrufen, ah! Ich wünschte, ich wäre allein zu Hause. Onkel schnappte nach Luft, schaute sich selbst an und kümmerte sich um sich selbst, um seine Angelegenheiten. Ich schnappte nach Luft, ich hatte Angst, ich war erstaunt. Auch wir schnappten nach Luft und sahen Trauer. Ein alleinstehender Mann stöhnt manchmal und ein verheirateter Mann schnappt nach Luft.

inverse Matrix

Was zum Teufel. Wir schnappten nach Luft, als wir davon erfuhren. Los geht's. Ich war erstaunt über diese Wunder. Sie schnappten nach Luft, oder was? Jubeln Sie noch mehr. Der eine schnappt nach Luft, der andere schnappt nach Luft. Warum warst du aufgeregt? Du wirst unwillkürlich stöhnen. Du keuchst falsch, keuchst noch einmal, eine Verhöhnung nutzloser Schreie. Ich habe den ganzen Tag gestöhnt. Die Frau schnappte nach Luft, musste aber nach Luft schnappen; Ich bin gekommen, um die Freude oder das Leid eines anderen zu sehen, aber mein eigenes Unglück ist passiert. Aah Mi. maßloser Ausdruck von Freude, Staunen, Trauer, Verzweiflung: keuchender Ehemann. ahalschnitsa Nr. schnappte nach Luft. Wer sich über alles wundert, die Dinge anderer Menschen über alle Maßen lobt, ist neidisch. Für jeden Achaler gibt es sieben Achaler. Für jeden Bakhar gibt es sieben Ahals. Akhova niedriger Achtitelny Penz. entzückend, unglaublich schön, schön, was einen Ausruf des Erstaunens und der Zustimmung hervorruft. Schreckliches Taschentuch. Ahwa? Ehefrauen , arch.-on. Loch, Lücke; ein Loch, ein Schnitt in der Haut, eine Beschädigung der Haut durch einen unvorsichtigen Schuss, eine Injektion oder einen Schlag. Achownja? Ehefrauen durch Akhova-, Akhova- oder Akhvod-Haut verwöhnte Haut. Wow, wow?, ruiniere die Haut mit einem Schuss, einem Stich, einem Schnitt. Ein schrecklicher Samstag, wenn Zahlungen geleistet werden und die Fehler nach Geld schnappen.

Lemma: Für jede Matrix A sein Produkt durch eine Identitätsmatrix der entsprechenden Größe ist gleich der Matrix A: AE=EA=A.

Matrix IN angerufen umkehren zur Matrix A, Wenn AB=BA=E. Inverse Matrix zu Matrix A bezeichnet durch A -1 .

Eine inverse Matrix existiert nur für eine quadratische Matrix.

Satz: Quadratische Matrix A hat genau dann eine Umkehrung, wenn die Determinante dieser Matrix ungleich Null ist (|A|≠0).

Algorithmus zum Finden der inversen Matrix A -1:

(für Matrizen zweiter und dritter Ordnung)

„Wenn du schwimmen lernen willst, dann geh mutig ins Wasser, und wenn du lernen willst Aufgaben lösen, Das Löse sie.»
D. Polya (1887-1985)

(Mathematiker. Hat einen großen Beitrag zur Popularisierung der Mathematik geleistet. Er hat mehrere Bücher darüber geschrieben, wie man Probleme löst und wie man das Lösen von Problemen lehrt.)