Unter den verschiedenen Prognosemethoden darf die Approximation nicht außer Acht gelassen werden. Mit seiner Hilfe können Sie Näherungsberechnungen durchführen und geplante Indikatoren berechnen, indem Sie die ursprünglichen Objekte durch einfachere ersetzen. In Excel ist es auch möglich, diese Methode für Prognosen und Analysen zu verwenden. Schauen wir uns an, wie diese Methode mithilfe integrierter Tools im angegebenen Programm angewendet werden kann.

Der Name dieser Methode kommt vom lateinischen Wort proxima – „am nächsten“. Ihre Grundlage ist die Annäherung durch Vereinfachung und Glättung bekannter Indikatoren und deren Ausrichtung in einem Trend. Diese Methode kann jedoch nicht nur zur Prognose, sondern auch zur Untersuchung vorhandener Ergebnisse verwendet werden. Schließlich handelt es sich bei der Näherung im Wesentlichen um eine Vereinfachung der Originaldaten, und die vereinfachte Version ist einfacher zu studieren.

Das Hauptwerkzeug, mit dem die Glättung in Excel durchgeführt wird, ist die Konstruktion einer Trendlinie. Unterm Strich ist auf Basis vorhandener Kennzahlen der Funktionsgraph für zukünftige Zeiträume vervollständigt. Der Hauptzweck einer Trendlinie besteht, wie Sie sich vielleicht vorstellen können, darin, Prognosen zu erstellen oder einen allgemeinen Trend zu identifizieren.

Es kann jedoch mit einer von fünf Näherungsarten konstruiert werden:

• Linear;
• Exponentiell;
• Logarithmisch;
• Polynom;
• Kraftvoll.

Betrachten wir jede der Optionen einzeln genauer.

Methode 1: Lineare Glättung

Schauen wir uns zunächst die einfachste Variante der Näherung an, nämlich die Verwendung einer linearen Funktion. Wir werden näher darauf eingehen, da wir die allgemeinen Punkte skizzieren, die für andere Methoden charakteristisch sind, nämlich die Erstellung eines Zeitplans und einige andere Nuancen, auf die wir bei der Betrachtung nachfolgender Optionen nicht näher eingehen.

Zunächst erstellen wir ein Diagramm, auf dessen Grundlage wir den Glättungsvorgang durchführen. Um ein Diagramm zu erstellen, nehmen wir eine Tabelle, die die monatlichen Kosten pro vom Unternehmen produzierter Produktionseinheit und den entsprechenden Gewinn in einem bestimmten Zeitraum zeigt. Die grafische Funktion, die wir erstellen werden, zeigt die Abhängigkeit der Gewinnsteigerung von der Senkung der Produktionskosten.

Die in diesem Fall verwendete Glättung wird durch die folgende Formel beschrieben:

In unserem konkreten Fall hat die Formel folgende Form:

y=-0,1156x+72,255

Unser Näherungszuverlässigkeitswert ist gleich 0,9418 , was ein recht akzeptables Ergebnis ist und die Glättung als zuverlässig charakterisiert.

Methode 2: exponentielle Näherung

Schauen wir uns nun die exponentielle Näherung in Excel an.

Das allgemeine Erscheinungsbild der Glättungsfunktion ist wie folgt:

Wo e ist die Basis des natürlichen Logarithmus.

In unserem speziellen Fall hatte die Formel die folgende Form:

y=6282,7*e^(-0,012*x)

Methode 3: Logarithmische Glättung

Jetzt ist es an der Zeit, die logarithmische Näherungsmethode zu betrachten.

Im Allgemeinen sieht die Glättungsformel so aus:

Wo ln ist der Wert des natürlichen Logarithmus. Daher der Name der Methode.

In unserem Fall hat die Formel folgende Form:

y=-62,81ln(x)+404,96

Methode 4: Polynomglättung

Jetzt ist es an der Zeit, über die Methode der Polynomglättung nachzudenken.

Die Formel, die diese Art der Glättung beschreibt, sieht wie folgt aus:

y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

Methode 5: Leistungsglättung

Schauen wir uns abschließend die Potenznäherungsmethode in Excel an.

Diese Methode wird effektiv bei intensiven Änderungen der Funktionsdaten eingesetzt. Es ist wichtig zu beachten, dass diese Option nur anwendbar ist, wenn die Funktion und das Argument keine negativen oder Nullwerte akzeptieren.

Die allgemeine Formel, die diese Methode beschreibt, lautet wie folgt:

In unserem speziellen Fall sieht es so aus:

y = 6E+18x^(-6,512)

Wie Sie sehen können, zeigte sich bei der Verwendung der spezifischen Daten, die wir als Beispiel verwendet haben, die höchste Zuverlässigkeit durch die Methode der Polynom-Approximation mit einem Polynom sechsten Grades ( 0,9844 ), die lineare Methode weist die geringste Zuverlässigkeit auf ( 0,9418 ). Dies bedeutet jedoch keineswegs, dass derselbe Trend bei der Verwendung anderer Beispiele auftreten wird. Nein, der Grad der Wirksamkeit der oben genannten Methoden kann erheblich variieren, abhängig von der spezifischen Art der Funktion, für die die Trendlinie erstellt wird. Wenn also die gewählte Methode für diese Funktion am effektivsten ist, heißt das keineswegs, dass sie auch in einer anderen Situation optimal ist.

Wenn Sie anhand der obigen Empfehlungen noch nicht sofort feststellen können, welche Art der Approximation speziell für Ihren Fall geeignet ist, ist es sinnvoll, alle Methoden auszuprobieren. Nachdem Sie eine Trendlinie erstellt und deren Konfidenzniveau angezeigt haben, können Sie die beste Option auswählen.

Abteilung: ________ Informatik und Computertechnik _______________

KURSARBEIT

nach Disziplin _______________ INFORMATIK __________________________

(Name der akademischen Disziplin gemäß Lehrplan)

ÜBUNG

Schüler der Gruppe MGP-12 Rumyantseva N.A.

(Gruppencode) (vollständiger Name)

1. Arbeitsthema: _ Implementierung der numerischen Methode mit Microsoft Excel und dem MathCAD-Paket

2. Ausgangsdaten für die Arbeit: _Option Nr. 17_________________________________

4. Liste des Bildmaterials: _ Darstellung der Ergebnisse in Form von Bildschirmmasken________________________________ ____________________________________

5. Frist für die Fertigstellung der Arbeiten: ___ 01.05.2013 ____________________________

Arbeitsleiter: ________ ______________ /_________/

(Position) (Unterschrift) (vollständiger Name)

Datum der Auftragserteilung: __ 15.02.2013 ______________

Anmerkung

Eine Erläuterung ist ein Bericht über den Abschluss von Studienleistungen. Es werden Probleme beim Finden empirischer Formeln mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate (LSM) unter Verwendung der Funktionen des Microsoft Excel-Pakets erörtert und auch die Lösung dieses Problems im MathCAD-Paket erörtert. In dieser Arbeit werden Gleichungen verschiedener Art mithilfe der Approximation linearer, quadratischer und exponentieller Abhängigkeiten erhalten. Am Ende der Arbeit wurde eine Schlussfolgerung gezogen, welche Methode das Problem am besten löste.

24 Seiten, 3 Tabellen, 14 Abbildungen, 0 Anhänge.

Abstrakt

Die Erläuterung stellt den Bericht über die Leistung der Hausarbeit dar. Darin werden Fragen zum Finden empirischer Formeln nach der Methode der kleinsten Quadrate (OLS) mit Hilfe der Möglichkeiten des Pakets Microsoft Excel behandelt, sowie die Lösung des gegebenen Problems in Turbo Pascal 7.0 betrachtet. In der Arbeit werden Gleichungen verschiedener Art mittels Näherung linearer, quadratischer und exponentieller Abhängigkeiten erhalten. Nach Beendigung der Arbeit wird die Schlussfolgerung gezogen, welches Problem besser gelöst werden kann.

Seiten 24, Tabellen 3, Abbildungen 14, Anhänge 0.

Anmerkung. 2

Einführung. 4

Formulierung des Problems. 5

Allgemeine Informationen. 6

Lineare Abhängigkeit. 7

Nichtlineare Abhängigkeit. 7

Ausgangsdaten. 10

Berechnung von Näherungen im Tabellenkalkulationsprogramm Excel 11

Diagramme erstellen. 17

LINEAR-Funktion.. 18

Approximation in MathCAD durchführen. 19

Einführung. 19

Lineare Approximation im MathCAD-Programm. 21

Exponentielle Näherung im MathCAD-Programm. 22

Polynom (quadratische Näherung im MathCAD-Programm). 23

Referenzen.. 24

Einführung

Approximation (von lat. „ approximare“ – „näher kommen“) ist eine wissenschaftliche Methode, deren Kern darin besteht, einige bekannte Werte durch andere, näherungsweise und einfacher zu ersetzen. Diese einfachen Werte müssen einer bestimmten Abhängigkeit genügen, deren Feststellung im Allgemeinen das ultimative Ziel dieser Methode ist.

Es ist bekannt, dass die funktionale Beziehung zwischen Größen entweder exakt (dieser Fall ist typisch für theoretische Spekulationen) oder ungefähr (was typischer für experimentell gewonnene Daten ist) sein kann. Diese Ungenauigkeit, die Abweichung des erhaltenen Wertes von der gewünschten Abhängigkeit, ausgedrückt in der Grafik als Streuung von Punkten in einiger Entfernung von der Kurve (hier übertreibe ich mich ein wenig), kann mehrere Gründe haben:

1. Fehler direkter Messungen (instrumentell), von Menschen gemachte Fehler (hier spreche ich natürlich nicht von groben Fehlern, die zu erheblichen Abweichungen führen).

2. Die Unvollkommenheit des menschlichen Wissens über die Natur – nicht alle modernen wissenschaftlichen Konzepte erlauben es uns, Werte für reale Fälle genau zu berechnen – viele davon zielen auf Idealfälle ab.

3. Die Komplexität und Variabilität der Natur selbst (insbesondere der Lebewesen). Beispielsweise ist im Fall der soziologischen Forschung eine exakte Übereinstimmung experimenteller Daten mit theoretischen Daten überhaupt nicht erforderlich – bereits eine geringfügige Korrelation experimenteller Ergebnisse mit erwarteten Mustern kann Fachleuten bereits viel sagen.

Bei der Wahl einer Näherung sollte man vom konkreten Forschungsproblem ausgehen. Typischerweise ist die resultierende Beschreibung der Beziehung umso näherungsweiser, je einfacher die zur Näherung verwendete Gleichung ist. Daher ist es wichtig zu lesen, wie groß die Abweichungen bestimmter Werte vom resultierenden Trend sind und welche Ursachen sie haben. Bei der Beschreibung der Abhängigkeit empirisch ermittelter Werte kann mit einer komplexeren Gleichung mit mehreren Parametern eine wesentlich höhere Genauigkeit erreicht werden. Es macht jedoch keinen Sinn, zufällige Abweichungen von Werten in bestimmten empirischen Datenreihen mit größtmöglicher Genauigkeit wiederzugeben. Viel wichtiger ist es, das allgemeine Muster zu erfassen, das in diesem Fall am logischsten und mit akzeptabler Genauigkeit genau durch die Zwei-Parameter-Gleichung einer Potenzfunktion ausgedrückt wird. Bei der Wahl eines Näherungsverfahrens geht der Forscher daher immer einen Kompromiss ein: Er entscheidet, inwieweit es in diesem Fall ratsam und angemessen ist, auf Details zu „opfern“ und wie allgemein die Abhängigkeit der verglichenen Variablen ausgedrückt werden soll. Neben der Identifizierung von Mustern, die durch zufällige Abweichungen empirischer Daten vom allgemeinen Muster maskiert werden, ermöglicht die Approximation auch die Lösung vieler anderer wichtiger Probleme: Formalisierung der gefundenen Abhängigkeit; Finden Sie unbekannte Werte der abhängigen Variablen durch Interpolation oder gegebenenfalls Extrapolation.

Formulierung des Problems

1. Approximieren Sie die in der Tabelle angegebene Funktion mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate

a) ein Polynom ersten Grades ;

b) ein Polynom zweiten Grades;

c) exponentielle Abhängigkeit.

2. Berechnen Sie für jede Abhängigkeit den Determinismuskoeffizienten.

3. Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten (nur im Fall a).

4. Konstruieren Sie für jede Abhängigkeit eine Trendlinie.

5. Berechnen Sie mithilfe der LINEST-Funktion die numerischen Eigenschaften der Abhängigkeit j aus X.

6. Vergleichen Sie Ihre Berechnungen mit den Ergebnissen, die Sie mit der Funktion LINEST erhalten haben.

7. Stellen Sie fest, welche der resultierenden Formeln die Funktion am besten annähert.

8. Verarbeiten Sie die angegebenen experimentellen Daten mithilfe der integrierten Interpolations- (Näherungs-) und Regressionsfunktionen des MathCAD-Pakets und vergleichen Sie die Ergebnisse mit den in Microsoft Excel erhaltenen Ergebnissen.

allgemeine Informationen

Bei der experimentellen Untersuchung der funktionalen Abhängigkeit y = f(x) wird der Wert von y bei verschiedenen Werten des Wertes von x gemessen. Die Ergebnisse werden in Tabelle 1 oder grafisch dargestellt.

X	x 1	x 2	×××	x n
Y	x 1	Y2	×××	y n

Tabelle 1

Die Aufgabe besteht darin, die gewünschte funktionale Abhängigkeit analytisch darzustellen, d.h. bei der Auswahl einer Formel, die die Ergebnisse des Experiments beschreibt. Die empirische Formel wird normalerweise aus einer relativ engen Klasse von Funktionen ausgewählt, wobei beispielsweise eine Reihe von linearen Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen usw. berücksichtigt werden. In diesem Fall orientieren sie sich an einigen theoretischen Überlegungen oder Überlegungen zur Einfachheit der Darstellung empirischen Materials. Die gefundene empirische Formel sollte so beschaffen sein, dass sich die daraus berechneten Funktionswerte für X = x i kaum von den experimentellen Daten y i (i = 1, 2, …, n) unterscheiden.

Bezeichnen wir die ausgewählte funktionale Abhängigkeit

wird minimal sein. Somit werden die Parameter a 1, a 2, ... und m aus der Bedingung bestimmt, dass die Summe der quadrierten Abweichungen der Messwerte y i aus nahm den kleinsten Wert an.

Unter Verwendung der notwendigen Bedingungen für das Extremum einer Funktion mehrerer Variablen erhalten wir ein Normalsystem zur Bestimmung der Koeffizienten a 1, a 2, ..., a m

wobei a1, a2 unbekannte Parameter sind und System (1.3) die Form annimmt

wobei a, b Konstanten sind und x > 0 und y > 0.

Wenn wir den Logarithmus der Gleichheit (1.2.1) nehmen, erhalten wir

und unter Anwendung der Formeln (1.1.2) ermitteln wir die Werte der Parameter b und u und dann den Wert des Parameters a.

Exponentielle Abhängigkeit

Unter der Annahme v = lny, c = lna, Y = x erhalten wir eine lineare Abhängigkeit

Tabelle Nr. 3.6

Je kleiner der Q-Wert ist, desto besser passt die empirische Formel an die experimentellen Daten.

In jeder Aufgabe ist es erforderlich, die Methode der kleinsten Quadrate zu verwenden, um eine theoretische funktionale Abhängigkeit für eine in einer Tabelle angegebene Funktion zu finden. Als theoretische funktionale Abhängigkeit verwenden Sie:

– Polynom ersten Grades ,

- Exponentialfunktion,

– Power-Funktion,

– Polynom zweiten Grades.

Ermitteln Sie für jede Abhängigkeit den theoretischen Wert der Funktion, die Summe der quadratischen Abweichungen der empirischen Werte der Funktion von den theoretischen Werten, geben Sie den kleinsten Wert dieses Werts und die Näherungsfunktion an, der er entspricht. Zeichnen Sie für jede Beziehung eine Trendlinie und zeigen Sie die Gleichung dieser Linie im Diagramm an. Zeigen Sie im Diagramm den Wert des Determinismuskoeffizienten R 2 an. Dieser Koeffizient wird nach der Formel berechnet

,

(2.1)

wo sind die gegebenen Werte der Funktion,

Theoretische Funktionswerte,

Arithmetisches Mittel, i = 1, 2, …,n.

Wenn der Determinismuskoeffizient 1 ist, stimmen die theoretischen und empirischen Werte der Funktion vollständig überein. Wenn der Koeffizient

Ist der Determinismus 0, dann wurde die theoretische Abhängigkeit erfolglos gewählt.

Ausgangsdaten

Es wurde ein Experiment durchgeführt. Seine Ergebnisse werden in Form einer Tabelle geschrieben, wobei x i ein vom Forscher angegebener Wert ist (z. B. die Konzentration von Reagenzien in einer chemischen Lösung), y i ein gemessener Wert (in unserem Beispiel kann dies die Rate sein). die Reaktion).

x i	y i	x i	y i	x i	y i	x i	y i	x i	y i
0.21	1.62	4.98	40.09	7.96	63.31	12.33	97.77	17.32	126.45
1.19	8.65	5.49	43.56	8.32	67.45	13.21	105.34	18.43	144.34
2.43	16.76	6.07	48.45	9.43	72.87	14.72	112.56	19.38	160.45
3.12	24.45	6.81	52.21	10.21	81.34	15.53	121.89	20.45	161.34
4.54	32.87	7.21	57.34	11.54	89.45	16.23	108.54	21.22	170.59

Tabelle 2

Berechnung von Näherungen im Excel-Tabellenkalkulationsprogramm

Lass die Sucht j aus X in diskreter Form angegeben: { X 1 , j 1 ; X 2 , j 2 ; … X N , j N }. Mithilfe dieser Daten ist es möglich, eine Näherungsfunktion zu konstruieren, deren Graph zwischen den Interpolationsknoten in deren Nähe liegt, aber nicht unbedingt alle Knoten genau durchläuft. Diese Abhängigkeit ist glättender Natur und wird beispielsweise konstruiert, um experimentelle Daten mithilfe einer Funktion eines bestimmten Typs zu beschreiben. Sie müssen nur die Parameter dieser Funktion definieren. Um dieses Problem zu lösen, wird es verwendet Methode der kleinsten Quadrate – OLS. Sein Wesen besteht darin, zu minimieren vollständiges quadratisches Residuum zwischen der konstruierten Funktion und den Werten j ich an Knotenpunkten:

Wo F(X) – die gewünschte Näherungsfunktion.

Als Näherung, die mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate erstellt wird, werden häufig Gradpolynome verwendet l,
, Wo l< N-1 . Im einfachsten Fall wird ein Polynom ersten Grades konstruiert, d.h. lineare Funktion: F(X) = Axt+ B. Chancen A Und B werden mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate mithilfe der folgenden Formeln ermittelt:

,
.

Um Koeffizienten zu finden, können Sie Standardfunktionen der Systeme MathCAD und Excel verwenden.

MathCAD hat eine Funktion Linie(vx, vy), das lineare Koeffizienten basierend auf den Werten der Vektorargumente zurückgibt vx Und vj.

Excel verfügt über eine LINEST-Funktion, die auch über zwei Argumente verfügt, die aus Zellbereichen bestehen. An erster Stelle steht der Zellbereich, der der Ordinate entspricht. Nach Eingabe dieser Funktion (z. B. „=LINEST(F10:F12;E1:E3)“) wird nur ein linearer Koeffizient ausgegeben. Um beide Koeffizienten anzuzeigen, müssen Sie zwei Zellen auswählen (einschließlich der ersten auf der linken Seite), dann „F2“ drücken und dann die Tastenkombination „Strg“, „Umschalt“, „Enter“ drücken.

Laborarbeit Nr. 8

Konstruieren Sie anhand der Ausgangsdaten aus der vorherigen Arbeit eine lineare Funktion mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate. Berechnen Sie die gesamte quadratische Abweichung der resultierenden Funktion. Berechnen Sie den Wert einer Funktion anhand des Werts des Arguments.

Körperliche Aufgabe Nr. 3

Wir gehen davon aus, dass die Messung der Intensität des radioaktiven Zerfalls für (K+1) Zeitpunkte mit einem bestimmten Zeitintervall durchgeführt wurde
. Diese Messungen ergaben eine Tabelle bestehend aus K+1 (K=3-5) Werten für die Anzahl der Zerfälle
für Momente in der Zeit
.

Bestimmen Sie mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate die Zerfallskonstante, die Halbwertszeit und den Wert der Summe der quadrierten Residuen.

Kenntnis des Gesetzes des radioaktiven Zerfalls

fordert zur Berechnung von Werten auf
und verwenden Sie die Methode der kleinsten Quadrate für Mengen
, auf der Suche nach den Parametern der linearen Abhängigkeit. Die Steigung der linearen Abhängigkeit bestimmt die radioaktive Zerfallskonstante .

Der Bericht muss ein Liniendiagramm enthalten
zusammen mit experimentellen Punkten. Beachten Sie, dass das Gesetz des radioaktiven Zerfalls probabilistisch ist und für große Werte relativ genau erfüllt wird . Die Halbwertszeiten radioaktiver Isotope variieren in einem sehr großen Bereich. Beispielsweise beträgt die Halbwertszeit des Stickstoffisotops 10 Minuten und die Halbwertszeit des Chlorisotops 300.000 Jahre. Bei Aufgaben beträgt die Halbwertszeit Stunden (und die Antwort sollte in Stunden angegeben werden).

Aus der Definition der Halbwertszeit
folgt seinem Zusammenhang mit der Zerfallskonstante:

. (2)

Der Lehrer gibt dem Schüler mithilfe analytischer Formeln die Parameter des Problems vor

, .

In diesen Formeln - Schülernummer in der Gruppe und - Messzahl (, Zeit wird in dieser Formel in Stunden gemessen. Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen der Schülerzahl und der Halbwertszeit.

Der Bericht zeigt die Ableitung von Gleichungen, mit denen Sie das Problem lösen können, ein Diagramm mit einer geraden Linie auf einer logarithmischen Skala für
und experimentelle Punkte, notieren Sie die Werte der Zerfallskonstante und der Halbwertszeit in Stunden.

Einführung

Das wichtigste Werkzeug zur Lösung komplexer mathematischer Probleme sind derzeit numerische Methoden, die es ermöglichen, die Lösung eines Problems auf die Durchführung einer endlichen Anzahl arithmetischer Operationen an Zahlen zu reduzieren; in diesem Fall liegen die Ergebnisse in Form von Zahlenwerten vor. Numerische Methoden ermöglichen es nur, eine Lösung des Problems mit bestimmten Parameterwerten und Ausgangsdaten zu erhalten.

Viele numerische Methoden wurden schon vor langer Zeit entwickelt, konnten in manuellen Berechnungen jedoch nur zur Lösung nicht sehr arbeitsintensiver Probleme eingesetzt werden. Mit dem Aufkommen der Computer begann eine Zeit der rasanten Entwicklung numerischer Methoden und ihrer Umsetzung in die Praxis. Nur ein Computer kann in kurzer Zeit das Rechenvolumen von Milliarden, Billionen oder mehr Operationen durchführen, das zur Lösung vieler moderner Probleme erforderlich ist.

Die numerische Methode muss neben der Fähigkeit, in akzeptabler Zeit Ergebnisse zu erhalten, noch eine weitere wichtige Eigenschaft aufweisen: Sie darf keine wesentlichen Fehler in den Berechnungsprozess einbringen.

Annäherung

Bei der empirischen (experimentellen) Untersuchung der funktionalen Abhängigkeit einer Größe von einer anderen werden aus jedem spezifischen Wert des Arguments x mehrere Messungen der Funktion y durchgeführt. Die Messergebnisse können grafisch oder tabellarisch dargestellt werden.

Die Aufgabe besteht darin, die funktionale Abhängigkeit von y von x, die das Ergebnis dieser Experimente beschreibt, analytisch darzustellen. Die Besonderheit der Aufgabe sind Ungenauigkeiten und Fehler. Während des Experiments enthalten die Messwerte von i zufällige Fehler und Messfehler. Die Aufgabe läuft darauf hinaus, eine funktionale Abhängigkeit zu erhalten, die alle Fehler aufsummiert – glättet.

Die Näherungsfunktion y(x) wird aus einer Reihe von Standard- und einfachen Funktionen ausgewählt. Bezeichnen wir die funktionale Abhängigkeit f (x i ; a 1 ; …a n). (1)

Dabei können die Parameter a und n nicht genau bestimmt werden, sie enthalten Fehler. Um unvoreingenommene und konsistente Schätzungen der Parameter a 1 zu erhalten; …a n – Sie können die Methode der kleinsten Quadrate verwenden.

Die Methode der kleinsten Quadrate ermöglicht es uns, unverzerrte inkonsistente Schätzungen des Parameters a 1 zu erhalten; …ein . Es wird davon ausgegangen, dass die Funktionsverschiebungsmessungen unabhängig voneinander durchgeführt wurden und die Fehler dem Gesetz der normalen Wahrscheinlichkeitsverteilung gehorchen.

Die Essenz der Methode. Wenn alle Messungen уi ... yn mit der gleichen Genauigkeit durchgeführt werden, dann sind Schätzungen der Parameter a 1 ; …a n werden unter der Bedingung bestimmt, dass die Summe der quadrierten Abweichungen von i am kleinsten ist.

y i = y i - f (x i ; a 1 ; …a n)

S=(y i - f (x i ; a 1 ; …a n)) 2

Wenn Parameter a 1 ; …a n linear in die Näherungsfunktion (1) eingehen, dann ist auch das Gleichungssystem linear; In Fällen, in denen sie nicht linear sind, ist eine Transformation der funktionalen Abhängigkeit erforderlich.

Lineare Funktionsnäherung

Die Aufgabe läuft auf Folgendes hinaus. Für die entsprechenden Werte des Arguments x 1 , x 2 , …, x n wird eine Reihe von Funktionswerten y 1 , y 2 , …, y n erhalten. Es ist notwendig, die Werte a und b des Ausdrucks y=ax+b zu finden.

S=? (yi-f (a*xi+b)) ^2

dS/da=2*?(yi-a*xi-b)*xi

dS/db=2*?(yi-a*xi-bi)

Erweitern wir das Vorzeichen der Summe:

Yi*xi-a*?xi^2-b*?xi=0

Lassen Sie uns die Beträge neu benennen

wobei die Werte von A, B, C, D aus der Tabelle bekannt sind.

Nachdem wir die Werte von a und b bestimmt haben, lösen wir das Problem der Bestimmung der Parameter des Ausdrucks y=ax+b.

y: -10,29, -6,64, -6,70, -4,31, -3,26, -2,20, -0,08, 1,50, 3,81, 3,62

Diagramm der resultierenden Funktion:

Potenzfunktionsnäherung

Aufgabe: Die Aufgabe läuft auf Folgendes hinaus. Für die entsprechenden Werte des Arguments x 1 , x 2 , …, x n wird eine Reihe von Funktionswerten y 1 , y 2 , …, y n erhalten. Es ist notwendig, die Werte a und b des Ausdrucks y=ax b zu finden. Nehmen wir dazu den Logarithmus dieses Ausdrucks:

ln y = b ln x + ln a

und Ersetzungen vornehmen:

Dann erhalten wir den bekannten Ausdruck für eine Gerade:

Der Ausdruck der minimierten Funktion für diesen Fall hat die Form:

S=? (yi-f(a*xi+b))^2

Wir lösen das System mit der Cramer-Methode und ermitteln die Parameter a und b

Daten: x: 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20

y: 0,41, 0,19, 0,10, 0,07, 0,05, 0,04, 0,03, 0,02, 0,02, 0,02

Diagramm der resultierenden Funktion:

Näherung parabolischer Funktionen

Aufgabe: Die Aufgabe läuft auf Folgendes hinaus. Für die entsprechenden Werte des Arguments x 1 , x 2 , …, x n wird eine Reihe von Funktionswerten y 1 , y 2 , …, y n erhalten. Es ist notwendig, die Werte von a, b und c aus dem Ausdruck y=ax 2 +bx+c zu ermitteln.

Der Ausdruck der minimierten Funktion für diesen Fall hat die Form:

S=? (yi-f(a*xi^2+b*xi+c))^2

Um a und b zu finden, kommt es darauf an, ein Gleichungssystem zu lösen:

Wir differenzieren, um die Minima zu finden:

dS/da=?(yi-a*xi^2-b*xi+c)*xi^2=0

dS/db=?(yi-a*xi^2-b*xi+c)*xi=0

dS/dc=?(yi-a*xi^2-b*xi+c)=0

Erweitern wir das Vorzeichen der Summe:

Yi*xi^2-a*?xi^4-b*?xi^3-c*?xi^2=0

Yi-a*?xi^2-b*?xi*yi-c*N=0

Lassen Sie uns die Beträge umbenennen:

G – aE – bD – cC = 0

F – aD – bC – cA = 0

B – aC – bA – cN = 0

wobei A, B, C, D, E, F, G aus der Tabelle bekannt sind.

Wir lösen das System mit der Cramer-Methode und ermitteln die Parameter a und b

Nachdem wir die Werte von a, b und c bestimmt haben, lösen wir das Problem der Bestimmung der Parameter des Ausdrucks y=ax 2 +bx+c.

Daten: x: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

MINISTERIUM FÜR BILDUNG UND WISSENSCHAFT DER RUSSISCHEN FÖDERATION

BUNDESHAUSHALTSPLAN

BILDUNGSEINRICHTUNG

Höhere Berufsausbildung

„STAATLICHE TECHNISCHE UNIVERSITÄT WORONESCH“

(FSBEI HPE „VSTU“, VSTU)

Fakultät für Funktechnik und Elektronik

Abteilung für höhere Mathematik und physikalische und mathematische Modellierung

KURSARBEIT

Disziplin: Mathematik

Thema: „Funktionsnäherungsmethoden“

Entwickelt von einem Studenten der KP-121-Gruppe

IST. Kononuchenko

Leiter Kostryukov S.A.

AUFGABE für die Kursarbeit

Thema: „Methoden der Approximation von Funktionen.“

Schüler der Gruppe KP-121 Kononuchenko Ilya Sergeevich

1. Funktionsnäherungsmethoden.

1.1. Kontinuierliche Annäherung.

2. Punktnäherung.

3. Lagrange-Interpolationspolynom.

4. Newtons Interpolationspolynom.

5. Globaler Interpolationsfehler.

6. Methode der kleinsten Quadrate.

7. Auswahl empirischer Formeln.

8. Stückweise konstante Interpolation

9. Stückweise lineare Interpolation.

2. Praktischer Teil.

2.1. Konstruieren Sie ein Interpolationspolynom für die Funktion f(x)=lnx- an den Knoten x=2; 4; 6; 8; 10; 12. Berechnen Sie den ungefähren Wert des Logarithmus aus 5,75. Erhalten Sie eine Fehlerschätzung für die Restlaufzeit.

2.2. Die in der Tabelle angegebene Funktion f(x) wird durch eine lineare Abhängigkeit angenähert ??(x)=Ax2+Bx+C. Finden Sie x, für das f(x)=10.

1. Funktionsnäherungsmethoden

1.1 Kontinuierliche Näherung

1.2 Punktnäherung

4 Newtons Interpolationspolynom

8 Stückweise konstante Interpolation

9 Stückweise lineare Interpolation

Praktischer Teil

2.1 Konstruieren Sie ein Interpolationspolynom für die Funktion f(x)=lnx-by Knoten x=2; 4; 6; 8; 10; 12. Berechnen Sie den ungefähren Wert des Logarithmus aus 5,75. Erhalten Sie eine Fehlerschätzung für die Restlaufzeit

2.2 Die in der Tabelle angegebene Funktion f(x) wird durch eine lineare Abhängigkeit angenähert ?(x)=Ax+B, quadratische Abhängigkeit ?(x)=Ax2+Bx+C. Finden Sie x, für das f(x)=10

Referenzliste

1.FUNKTIONSANFÄHRUNGSMETHODEN

1.1Kontinuierliche Annäherung

Wenn die ursprüngliche Funktion f(x) durch einen analytischen Ausdruck gegeben ist, kann beim Konstruieren einer Näherungsfunktion die minimale Abweichung einer Funktion von einer anderen auf einer kontinuierlichen Punktmenge, beispielsweise auf einem Segment, gefordert werden. Diese Art der Näherung wird kontinuierlich oder integral genannt.

Theoretisch ist es für die beste Näherung ratsam zu fordern, dass an allen Punkten eines bestimmten Segments die Abweichung der Näherungsfunktion von der Funktion f(x) im Absolutwert kleiner als ein gegebener Wert ist:

In diesem Fall soll die Funktion die Funktion f(x) mit der Genauigkeit e über das Intervall gleichmäßig approximieren. In der Praxis ist es sehr schwierig, eine einheitliche Näherung zu erhalten, weshalb diese Methode hauptsächlich in theoretischen Studien verwendet wird.

Am häufigsten wird die sogenannte Root-Mean-Square-Näherung verwendet, bei der die Größe den kleinsten Wert hat

Indem man verlangt, dass die partiellen Ableitungen von M in Bezug auf die Parameter, die die Funktion definieren, verschwinden, erhält man Gleichungen, die es ermöglichen, die besten Werte dieser Parameter zu finden.

2-Punkt-Näherung

Die Näherung, bei der die Näherung auf einer gegebenen diskreten Menge von Punkten basiert, wird als punktbasiert bezeichnet.

Um eine Punkt-Effektivwert-Näherung der in einer Tabelle angegebenen Funktion y=f(x) zu erhalten, wird die Näherungsfunktion aus der Bedingung des Minimalwerts konstruiert

wobei yi die Werte der Funktion f(x) an den Punkten xi sind.

Das Hauptanwendungsgebiet der Root-Mean-Square-Näherung ist die Verarbeitung experimenteller Daten (Konstruktion empirischer Formeln).

Eine andere Art der Punktnäherung ist die Interpolation, bei der die Näherungsfunktion an gegebenen Punkten annimmt xi die gleichen Werte yi wie die Funktion f(x), d.h. .

Bild 1

In diesem Fall besteht die Nähe der Interpolationsfunktion zu einer bestimmten Funktion darin, dass ihre Werte auf einem bestimmten Punktesystem zusammenfallen.

In Abb. Abbildung 1 zeigt qualitative Diagramme der Interpolationsfunktion (durchgezogene Linie) und die Ergebnisse der quadratischen Mittelwertnäherung (gestrichelte Linie). Die Punkte markieren die Tabellenwerte der Funktion f(x).

3 Lagrange-Interpolationspolynom

Lagrange schlug vor, ein Interpolationspolynom in Form einer Entwicklung zu konstruieren

wobei li(x) Basisfunktionen sind.

Damit das Polynom die Lagrange-Bedingungen erfüllt, d.h. Wäre Interpolation, sollten die Basisfunktionen li(x) folgende Eigenschaften haben:

) ein Polynom vom Grad n sein

) erfüllen die Bedingung

Lagrange zeigte, dass Funktionen mit diesen Eigenschaften die folgende Form haben sollten

Unter Berücksichtigung dieses Ausdrucks kann das Lagrange-Interpolationspolynom geschrieben werden als

Im Gegensatz zum Interpolationspolynom in kanonischer Form ist es zur Berechnung der Werte des Lagrange-Polynoms nicht erforderlich, zunächst die Koeffizienten des Polynoms durch Lösen eines Gleichungssystems zu bestimmen. Allerdings muss das Lagrange-Polynom für jeden Wert des Arguments x erneut berechnet werden, während die Koeffizienten des kanonischen Polynoms nur einmal berechnet werden. Daher ist die praktische Verwendung des Lagrange-Polynoms nur dann gerechtfertigt, wenn die Interpolationsfunktion an einer relativ kleinen Anzahl von Punkten x berechnet wird.

Für die näherungsweise Berechnung bestimmter Integrale erweist sich das Lagrange-Interpolationspolynom als sehr praktisch. Wenn beispielsweise eine bestimmte Funktion durch ein Lagrange-Interpolationspolynom ersetzt wird, kann das bestimmte Integral davon wie folgt berechnet werden

Die Werte der Integrale von hängen nicht von f(x) ab und können leicht analytisch berechnet werden.

1.4 Newtons Interpolationspolynom

Betrachten wir eine andere Schreibweise des Interpolationspolynoms

Die Forderung, dass die Werte des Polynoms mit den gegebenen Werten der Funktion an den Knotenpunkten Ni(xi)=yi, i=0,1,…,n übereinstimmen, führt zu einem System linearer Gleichungen mit einer Dreiecksform Matrix für unbekannte Koeffizienten:

was nicht schwer zu lösen ist.

Das Interpolationspolynom wird Newtonsches Polynom genannt. Ein interessantes Merkmal des Newton-Polynoms besteht darin, dass jede Teilsumme seiner ersten (m+1) Terme ein Interpolationspolynom vom Grad m ist, das aus den ersten (m+1) tabellarischen Daten erstellt wird.

5 Globaler Interpolationsfehler

Der Fehler bei der Approximation der Funktion f(x) durch das Interpolationspolynom Ln(x) n-ten Grades am Punkt x wird durch die Differenz bestimmt

Es kann gezeigt werden, dass der Fehler Rn(x) durch den folgenden Ausdruck gegeben ist

Hier ist die Ableitung der Ordnung (n+1) der Funktion f(x) an einem bestimmten Punkt, und die Funktion ist definiert als

Wenn der Maximalwert der Ableitung f (n+1)(x) ist

dann folgt für den Interpolationsfehler folgende Schätzung:

Die spezifische Größe des Fehlers am Punkt x hängt offensichtlich vom Wert der Funktion an diesem Punkt ab. Die qualitative Natur der Abhängigkeit ist in Abb. dargestellt. 2.

Figur 2

Aufgrund des beschriebenen Fehlerverhaltens kann die globale Interpolation in manchen Fällen zu völlig unbefriedigenden Ergebnissen führen. Die Abbildung zeigt, dass der Interpolationsfehler umso höher ist, je näher der Punkt x an den Enden des Segments liegt. Außerhalb des Interpolationssegments (d. h. während der Extrapolation) wächst er schnell, sodass der Fehler deutlich zunimmt.

1.6 Methode der kleinsten Quadrate

Für die Anfangsdaten xi, fi, i=1,…,N (es ist besser, mit der Nummerierung bei eins zu beginnen) wird die Art der empirischen Abhängigkeit gewählt: y= ?(a0,a1,…,am) mit unbekannten Koeffizienten a0,a1,…,am . Schreiben wir die Summe der quadratischen Abweichungen zwischen den mit der empirischen Formel berechneten und den gegebenen experimentellen Daten auf:

S(a0,a1,…,am)=(?(x1,a0,a1,…,am)-fi)2

Die Parameter a0,a1,…,am finden wir aus der Minimalbedingung der Funktion S(a0,a1,…,am). Dies ist die Methode der kleinsten Quadrate (OLS).

Es ist bekannt, dass am Minimalpunkt alle partiellen Ableitungen von S gleich Null sind:

Betrachten wir die Verwendung der Methode der kleinsten Quadrate für einen Sonderfall, der in der Praxis weit verbreitet ist. Betrachten Sie als empirische Funktion das Polynom

?(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm

Formel (1) zur Bestimmung der Summe der quadratischen Abweichungen hat die Form:

S(a0,a1,…,am)=(a0+a1x+a2x2+…+amxm-fi)2 (2)

Berechnen wir die Ableitungen

Wenn wir diese Ausdrücke mit Null gleichsetzen und die Koeffizienten für die Unbekannten a0,a1,…,am sammeln, erhalten wir das folgende System linearer Gleichungen

Dieses Gleichungssystem heißt normal. Wenn wir dieses System linearer Gleichungen lösen, erhalten wir die Koeffizienten.

Im Fall eines Polynoms erster Ordnung m=1, d.h. , das System der Normalgleichungen wird die Form annehmen

Für m=2 gilt:

In der Regel werden mehrere empirische Abhängigkeiten ausgewählt. Mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate werden die Koeffizienten dieser Abhängigkeiten ermittelt und unter ihnen der beste auf der Grundlage der minimalen Abweichungen ermittelt.

1.7 Auswahl empirischer Formeln

Bei der Interpolation von Funktionen haben wir die Bedingung der Gleichheit der Werte des Interpolationspolynoms und der gegebenen Funktion an den Interpolationsknoten verwendet. Wenn die Ausgangsdaten als Ergebnis experimenteller Messungen gewonnen wurden, ist die Anforderung einer exakten Übereinstimmung nicht erforderlich, da die Daten nicht genau ermittelt wurden. In diesen Fällen kann nur eine näherungsweise Erfüllung der Interpolationsbedingungen gefordert werden. Diese Bedingung bedeutet, dass die Interpolationsfunktion F(x) nicht genau durch die gegebenen Punkte verläuft, sondern in einer Umgebung von ihnen, wie zum Beispiel in Abb.

Approximationspolynom-Interpolationsformel

Figur 3

Dann sprechen sie über die Auswahl empirischer Formeln. Die Konstruktion einer empirischen Formel besteht aus zwei Schritten: Auswahl des Typs dieser Formel, der unbekannte Parameter a0,a1,…,am enthält, und Bestimmung des in gewissem Sinne besten dieser Parameter. Die Form der Formel ist manchmal aus physikalischen Überlegungen bekannt (für ein elastisches Medium die Beziehung zwischen Spannung und Dehnung) oder wird aus geometrischen Überlegungen ausgewählt: Versuchspunkte werden in einem Diagramm aufgetragen und die allgemeine Form der Beziehung wird durch Vergleichen näherungsweise erraten resultierende Kurve mit Diagrammen bekannter Funktionen. Der Erfolg wird hier maßgeblich von der Erfahrung und Intuition des Forschers bestimmt.

Für die Praxis ist der Fall der Approximation einer Funktion durch Polynome wichtig, d.h. F(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm .

Nachdem die Art der empirischen Abhängigkeit ausgewählt wurde, wird der Grad der Nähe zu empirischen Daten anhand der minimalen Summe der quadratischen Abweichungen der berechneten und experimentellen Daten bestimmt.

1.8 Stückweise konstante Interpolation

Auf jedem Segment ist das Interpolationspolynom gleich einer Konstante, nämlich dem linken oder rechten Wert der Funktion.

Für linke stückweise lineare Interpolation

F(x)= fi-1, wenn xi-1 ?x

Für rechte stückweise lineare Interpolation F(x)= fi-1, wenn xi-1

Es ist leicht zu verstehen, dass die Interpolationsbedingungen erfüllt sind. Die konstruierte Funktion ist diskontinuierlich, was ihre Anwendung einschränkt. Für die linke stückweise lineare Interpolation haben wir eine grafische Darstellung

Figur 4

1.9 Stückweise lineare Interpolation

In jedem Intervall ist die Funktion linear Fi(x)=kix+li. Die Koeffizientenwerte werden ermittelt, indem die Interpolationsbedingungen an den Enden des Segments erfüllt werden: Fi(xi-1)=fi-1, Fi(xi-1)=fi. Wir erhalten ein Gleichungssystem: kixi-1+ li= fi-1, kixi+ li= fi, woraus sich ki=li= fi- kixi ergibt.

Daher kann die Funktion F(x) geschrieben werden als:

F(x)= x+ fi- kixi, wenn, d.h.

Oder F(x)=ki ·(x-xi-1)+fi-1, ki = (fi - fi-1) / (xi - xi-1), xi-1? X? xi, i=1,2,...,N-1

Wenn Sie die lineare Interpolation verwenden, müssen Sie zunächst das Intervall bestimmen, in das der x-Wert fällt, und ihn dann in die Formel einsetzen.

Die endgültige Funktion ist stetig, die Ableitung ist jedoch an jedem Interpolationsknoten unstetig. Der Fehler einer solchen Interpolation ist geringer als im Fall einer stückweise konstanten Interpolation. Eine Darstellung der stückweisen linearen Interpolation ist in der Abbildung dargestellt

Abbildung 5

2. PRAKTISCHER TEIL

2.1 Konstruieren wir ein Interpolationspolynom für die Funktion

f(x)=lnx- durch Knoten x=2; 4; 6; 8; 10; 12.

Die Formel zur Berechnung dieses Polynoms lautet wie folgt:

wobei n die Anzahl der Knoten ist.

Berechnen wir die Werte der Basispolynome.

Formel zur Berechnung von Basispolynomen:

Schreiben wir die Werte der Funktionsknoten auf:

Berechnen wir die Werte der Funktionen f(x) an den entsprechenden Knoten:

f(x0)==0,6931471805599453-1,5=-0,8068528194400547(x1)= =1,386294361119891-1,25=0,136294361119891(x2)= =1,791759469228055-1,166 6666666666667=0,625092802561388(x3)= =2,079441541679835-1,125=0,954441541679835(x4)= =2,302585092994045 - 1,1=1,202585092994045(x5)= =2,484906649788-1,083333333333333=1,401573316454667

Berechnen wir die Werte der entsprechenden Basispolynome:

Schreiben wir die Formel zur Berechnung des Polynoms f(x)=lnx- anhand der erhaltenen Daten auf:

L(x)=f(x0) l0(x)+ f(x1) l1(x)+ f(x2) l2(x)+ f(x3) l3(x)+ f(x4) l4(x)+ f(x5) l5(x).

Setzen wir die erhaltenen Werte in die Formel ein:

L(x)=((- 0,8068528194400547) ·(x-4)(x-6)(x-8)(x-10)(x-12)+ +0,136294361119891·5(x-2)(x-6 )(x-8)(x-10)(x-12)- 0,625092802561388 10

· (x-2)(x-4)(x-8)(x-10)(x-12)+ 0,954441541679835 10(x-2)(x-4)(x-6)(x-10) ( x-12)-1.202585092994045 5(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-12)+ 1.401573316454667

·(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-10)=0,000443792912875 x5-0,001895922201567 x4+

032520620421826 x3-0,289410042490318 x2+1,50294940468648 x-2,886362165898854

Abbildung 6

L(x)= 0,000443792912875 x5-0,001895922201567 x4+

032520620421826 x3-0,289410042490318 x2+

50294940468648 x-2.886362165898854

Die Abbildung zeigt, dass die Graphen der Funktionen übereinstimmen.

Berechnen wir den ungefähren Wert des Logarithmus aus 5,75 mit einer Genauigkeit von 0,001.

Nutzen wir die Erweiterung

Verwendung der Formel

Berechnen wir den ungefähren Wert des Logarithmus:

Wir erhalten eine Schätzung des Fehlers des Restterms:

Die Formel zum Finden des Restes an anderen Punkten:

Rn(x)=f(x)-Ln(x).

Ersetzen wir die Werte und berechnen den Restterm:

Rn(x)= -0,234721044665224-(-0,149875603361276)= 0,0122

Für den absoluten Fehler der Lagrange-Interpolationsformel kann die folgende Schätzung erhalten werden:

0122374?9.9512361

Aus der Schätzung folgt, dass man durch die Wahl einer ausreichend großen Anzahl von Partitionspunkten das Ergebnis mit der erforderlichen Genauigkeit erhalten kann.

Die in der Tabelle angegebene Funktion f(x) wird durch eine lineare Abhängigkeit angenähert ?(x)=Ax+B, quadratische Abhängigkeit? (x)=Ax2+Bx+C.

x10151720f(x)371117Lösung:

Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir die Methode der kleinsten Quadrate.

System normaler Gleichungen für lineare Abhängigkeit (x)=Ax+B:

Wenn man bedenkt, dass n=4: ;

Wir lösen das lineare Gleichungssystem:

Daher sieht die lineare Beziehung wie folgt aus:

Betrachten wir die quadratische Abhängigkeit?(x)=Ax2+Bx+C. Das System der Normalgleichungen hat die Form:

Lassen Sie uns die nicht berechneten Beträge ermitteln:

Daher sieht die quadratische Abhängigkeit wie folgt aus:

Abbildung 7

Funktion durch Tabelle gegeben.

Lineare Abhängigkeit

Quadratische Abhängigkeit

Mithilfe des Diagramms ermitteln wir den Wert von x, für den f(x)=10.

Referenzliste

1. Kirillova S.Yu. Computermathematik/Kirillova S.Yu. Verlag Vladim. Zustand Univ., 2009. -102 S.

2. Nachschlagewerk über Näherungsmethoden zur Lösung von Problemen der höheren Mathematik / L.I. Borodich, A.I. Gerasimovich, N.P. Keda et al.; bearbeitet von L.I. Borodich. - M.: Higher School, 1986. -189 S.

3. Tyukanov, A.S. Grundlagen numerischer Methoden: Lehrbuch. Handbuch für Studierende. Verlag der Russischen Staatlichen Pädagogischen Universität, benannt nach. K.I. Herzen, 2007. -226 S.

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