Welche binäre Schreibweise entspricht der hexadezimalen Ziffer a? Warum brauchen wir das hexadezimale Zahlensystem?

Hexadezimales Zahlensystem ist bei weitem das beliebteste Mittel zur kompakten Aufzeichnung von Binärzahlen. Sehr weit verbreitet in der Entwicklung und dem Design digitaler Technologie.

Wie der Name schon sagt, ist die Basis dieses Systems die Zahl sechzehn 16 oder hexadezimal 10 16 . Um Verwirrung zu vermeiden, geben wir beim Schreiben von Zahlen in anderen Zahlensystemen als dem Dezimalsystem unten rechts in der Hauptzahlennotation die Basis des Zahlensystems an. Da die Basis des Systems die Zahl sechzehn ist, bedeutet das, dass wir zur Darstellung der Zahlen sechzehn Ziffern benötigen. Die ersten zehn Ziffern werden dem uns bekannten Dezimalsystem (0,1,..,8,9) entnommen und zusätzlich sechs Buchstaben des lateinischen Alphabets (a,b,c,d,e,f) hinzugefügt. Beispielsweise sind in der Hexadezimalzahl 3f7c2 die Buchstaben „f“ und „c“ Hexadezimalziffern.

Das Zählen im Hexadezimalsystem ähnelt dem Zählen im Dezimalsystem. Versuchen wir, Zahlen zu zählen und zu schreiben, indem wir sie aus den verfügbaren sechzehn Ziffern konstruieren:

Null - 0 ;
Eins - 1 ;
Zwei - 2 ;
...
usw…
...
Acht - 8 ;
Neun - 9 ;
Zehn - A;
elf - B;
Zwölf - C;
Dreizehn - D;
Vierzehn - e;
Fünfzehn - F;

Was macht man als nächstes? Alle Zahlen sind weg. Wie stellt man die Zahl Sechzehn dar? Machen wir dasselbe wie im Dezimalsystem. Dort haben wir das Konzept von zehn eingeführt, hier werden wir das Konzept von „sechzehn“ einführen und sagen, dass sechzehn eins „sechzehn“ und null Einsen ist. Und das lässt sich schon aufschreiben – „10 16“.

Also, Sechzehn - 10 16 (eins „sechzehn“, null eins)
Siebzehn - 11 16 (ein „sechzehn“, eine Einheit)
...
usw…
...
Fünfundzwanzig - 19 16 (eins „sechzehn“, neun eins)
Sechsundzwanzig - 1a 16 (ein „sechzehn“, zehn Einheiten)
Siebenundzwanzig - 1b 16 (eins „sechzehn“, elf Einheiten)
...
usw…
...
Dreißig - 1e 16 (eins „sechzehn“, vierzehn eins)
Einunddreißig - 1f 16 (eine „sechzehn“, fünfzehn Einheiten)
Zweiunddreißig - 20 16 (zwei Sechzehner, null Einsen)
Dreiunddreißig - 21 16 (zwei Sechzehner, eins eins)
...
usw…
...
Zweihundertfünfundfünfzig - ff 16 (fünfzehn mal „sechzehn“, fünfzehn Einheiten)

zweihundertsechsundfünfzig - 100 16 (eins „Zweihundertsechsundfünfzig“, null „sechzehn“, null Einsen)
zweihundertsiebenundfünfzig - 101 16 (eins „zweihundertsechsundfünfzig“, null bis „sechzehn“, eins eins)
zweihundertachtundfünfzig - 102 16 (eins „Zweihundertsechsundfünfzig“, null bis „sechzehn“, zwei Einsen)
...
usw...
...

Immer wenn wir den Ziffernsatz zur Anzeige der nächsten Zahl erschöpft haben, geben wir größere Zähleinheiten ein (z. B. Zählen mit „sechzehn“, „zweihundertsechsundfünfzig“ usw.) und schreiben die um eine Ziffer erweiterte Zahl.

Bedenken Sie die Zahl 3e2c 16 im hexadezimalen Zahlensystem geschrieben. Wir können darüber sagen, dass es enthält: drei x viertausendsechsundneunzig, „e“ (vierzehn) x zweihundertsechsundfünfzig, zwei x sechzehn und „c“ (zwölf) Einsen. Und Sie können seinen Wert anhand der darin enthaltenen Zahlen wie folgt ermitteln.

3e2c 16 = 3 *4096+14 *256+2 *16+12 *1, hier und unten bedeutet das Zeichen * (Sternchen) Multiplikation.

Aber die Zahlenreihe 4096, 256, 16, 1 ist nichts anderes als ganzzahlige Potenzen der Zahl sechzehn (der Basis des Zahlensystems) und kann daher geschrieben werden:

3e2c 16 = 3 *16 3 +14 *16 2 +2 *16 1 +12 *16 0

Ähnliches gilt für einen hexadezimalen Bruch (Bruchzahl), zum Beispiel: 0,5a2 16 Darüber können wir sagen, dass es enthält: fünf Sechzehntel, „a“ (zehn) zweihundertsechsundfünfzig und zwei viertausendsechsundneunzig. Und sein Wert lässt sich wie folgt berechnen:

0,5a2 16 = 5 *(1/16) + 10 *(1/256) + 2 *(1/4096)

Und hier ist eine Reihe von Zahlen 1/16; 1/256 und 1/4096 sind nichts anderes als ganzzahlige Sechzehnerpotenzen und wir können auch schreiben:

0,5a2 16 = 5 *16 -1 + 10 *16 -2 + 2 *16 -3

Für die gemischte Zahl 7b2.1f9 können wir auf die gleiche Weise schreiben:

7b2.1f9 = 7 *16 2 +11 *16 1 +2 *16 0 +1 *16 -1 +15 *16 -2 +9 *16 -3

Nummerieren wir die Ziffern des ganzzahligen Teils einer Hexadezimalzahl von rechts nach links mit 0,1,2...n (die Nummerierung beginnt bei Null!). Und die Ziffern des Bruchteils, von links nach rechts, wie -1,-2,-3...-m, dann kann der Wert einer bestimmten Hexadezimalzahl mit der Formel berechnet werden:

N = d n 16 n +d n-1 16 n-1 +…+d 1 16 1 +d 0 16 0 +d -1 16 -1 +d -2 16 -2 +…+d -(m-1) 16 -(m-1) +d -m 16 -m

Wo: N- die Anzahl der Ziffern im ganzzahligen Teil der Zahl minus eins;
M- die Anzahl der Ziffern im Bruchteil der Zahl
d i- Ziffer im Stehen ich-ter Rang

Diese Formel wird als Formel für die bitweise Entwicklung einer Hexadezimalzahl bezeichnet, d.h. Zahl im hexadezimalen Zahlensystem geschrieben. Wenn wir die Zahl sechzehn in dieser Formel durch eine beliebige Zahl ersetzen Q, dann erhalten wir die Entwicklungsformel für die eingeschriebene Zahl qth Zahlensystem, d.h. mit Sockel Q:

N = d n q n +d n-1 q n-1 +…+d 1 q 1 +d 0 q 0 +d -1 q -1 +d -2 q -2 +…+d -(m-1) q - (m-1) +d -m q -m

Mit dieser Formel können Sie jederzeit den Wert einer Zahl berechnen, die in einem beliebigen Positionszahlensystem mit Basis geschrieben ist Q.

Weitere Zahlensysteme finden Sie auf unserer Website über die folgenden Links.

Das dem Menschen vertraute Zahlensystem ist das Dezimalsystem. Es basiert auf zehn Ziffern von 0 bis 9. Das Hexadezimalsystem zeichnet sich dadurch aus, dass es zusätzlich zu den Grundzahlen die ersten sechs Buchstaben des lateinischen Alphabets zum Schreiben von Zahlen enthält. Das heißt, auf die Zahl 9 folgt das Symbol „A“, was der Zahl 10 für das Dezimalsystem entspricht. Dementsprechend ist F im Hexadezimalformat 16 im Dezimalformat. Die Verwendung von sechzehn Zeichen im System ist keine zufällige Entscheidung.

Die Informationseinheit ist ein bisschen. Acht Bits bilden ein Byte. Es gibt ein Konzept wie ein Maschinenwort – eine Dateneinheit, die zwei, also sechzehn Bits darstellt. Somit ist es möglich, mit sechzehn verschiedenen Symbolen jede Information zu beschreiben, die beim Datenaustausch das kleinste Teilchen darstellt. Mit ihnen kann man alles machen Rechenoperationen, das Ergebnis wird dementsprechend auch im Hexadezimalsystem erhalten.

Um zu erkennen, dass eine Zahl hexadezimal geschrieben wird, wird der Buchstabe „h“ oder der Index „16“ dahinter geschrieben.

Anwendung

Am häufigsten verwendet Hexadezimalsystem Zahlen sind Fehlercodes Softwareprodukte, Zum Beispiel, Betriebssystem. Die in diesen Codes enthaltenen Zahlen sind standardisiert. Mit einer speziellen Tabelle können Sie jederzeit feststellen, was genau dieser oder jener Fehler bedeutet.

In Low-Level-Sprachen, die dem Maschinencode möglichst nahe kommen, wird zum Schreiben von Programmen das Hexadezimalsystem verwendet. Viele Programmierer verwenden es auch bei der Arbeit mit Hochsprachen, da die Zahlen in diesem System mithilfe einer speziellen Entsprechungstabelle leicht in das Binärsystem umgewandelt werden können, auf dem die Funktionsweise aller digitalen Technologien basiert. Alle Informationen auf dem Computer, sei es eine Musikdatei oder Text dokument, nach der Übersetzung, wird durch eine Sequenz des Quellbinärcodes dargestellt, und es ist bequemer, ihn durch Hexadezimalsymbole dargestellt anzuzeigen.

Eine Verwendungsmöglichkeit von Hexadezimalzeichen ist auch die Beschreibung von Farbschemata, d. h. die drei Komponenten R, G, B werden in einer für ein bestimmtes System angemessenen Weise beschrieben. Dieser Aufzeichnungsansatz wird als hexadezimale Farbe bezeichnet

Durch die Möglichkeit, ein Programm im Hexadezimalcode anzuzeigen, können Sie es debuggen und Änderungen vornehmen. Angreifer nutzen diesen Ansatz, um Programme zu hacken.

0123456789ABCDEF. Ausgehend von der Zahl 16 erhalten wir das hexadezimale Zahlensystem. Hier können wir 10 Ziffern des Dezimalsystems verwenden und 6 weitere Ziffern hinzufügen – Buchstaben des lateinischen Alphabets (A, B, C, D, E, F): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9 , A, B, C, D, E, F 10 11 12 13 14 15 Insgesamt 16 verschiedene Zeichen bilden das Alphabet des hexadezimalen Zahlensystems. Sie können jede beliebige Zahl schreiben, einschließlich aller dieser Zeichen: A37, 1B45, F302, 1A3C5... - Bitte beachten Sie: Wir verwenden Zeichen von 0 bis F. Für das hexadezimale Zahlensystem q=16. Inhalt.

Folie 32 aus der Präsentation „Geschichte der Zähl- und Zahlensysteme“. Die Größe des Archivs mit der Präsentation beträgt 2292 KB.

Informatik 9. Klasse

Zusammenfassung anderer Vorträge

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„Was ist E-Mail“ – Adresse Email. Mail-Routing. Brief. So funktioniert E-Mail. X-Mailer. Die Frage nach dem Erscheinen von E-Mail. Datum von. Kopieren. Email. Buchstabenstruktur. E-Mail-Verlauf. Absender. E-Mail.

Jeder, der mit einem Computer oder anderen digitalen Geräten kommuniziert, ist auf mysteriöse Einträge wie 10FEF gestoßen, die für den Uneingeweihten wie eine Art Code erscheinen. Was verbirgt sich hinter diesen Symbolen? Es stellt sich heraus, dass es sich nur um Zahlen handelt. Diejenigen, die Hexadezimal verwenden

Zahlensysteme

Jedes Schulkind weiß oder hat zumindest irgendwo gehört, dass alle Zahlen, die wir normalerweise verwenden, die Form haben. Sie trägt diesen Namen einfach deshalb, weil sie nur zehn verschiedene Symbole enthält (von 0 bis 9). Mit ihrer Hilfe kann jede Zahl in unserem üblichen System geschrieben werden. Es stellt sich jedoch heraus, dass die Verwendung nicht immer bequem ist. Beim Informationsaustausch zwischen digitalen Geräten ist es beispielsweise am einfachsten, ein Zahlensystem zu verwenden, in dem es nur zwei Ziffern gibt: „0“ – kein Signal – oder „1“ – es liegt ein Signal (Spannung oder etwas anderes) vor. Es heißt binär. Um die Vorgänge in solchen Geräten zu beschreiben, die damit arbeiten, müssen jedoch zu lange und schwer verständliche Notizen gemacht werden. Daher wurde das hexadezimale Zahlensystem erfunden.

Das Konzept des Hexadezimalsystems

Warum verwenden digitale Geräte ein System, das sechzehn verschiedene Symbole enthält? Wie Sie wissen, werden Informationen in Computern in Form von Bytes übertragen, die normalerweise 8 Bits enthalten. Eine Dateneinheit – ein Maschinenwort – umfasst 2 Bytes, also 16 Bit. Somit ist es möglich, mit Hilfe von sechzehn verschiedenen Symbolen die Information zu beschreiben, die das kleinste Teilchen im Austausch darstellt. Das hexadezimale Zahlensystem umfasst unsere üblichen Zahlen (natürlich von 0 bis 9) sowie die Anfangsbuchstaben (A, B, C, D, E, F). Mit Hilfe dieser Symbole ist es üblich, jede Informationseinheit aufzuschreiben. Sie können damit beliebige Rechenoperationen durchführen. Das heißt Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division. Das Ergebnis wird ebenfalls eine Hexadezimalzahl sein.

Wo wird es verwendet?

Zur Aufzeichnung von Fehlercodes wird das Hexadezimalsystem verwendet. Sie können beim Betrieb verschiedener Softwareprodukte auftreten. So werden beispielsweise Betriebssystemfehler kodiert. Jede Nummer ist Standard. Durch die Entschlüsselung anhand der Anleitung können Sie genau herausfinden, welcher Fehler während des Arbeitsprozesses aufgetreten ist. Solche Symbole werden auch beim Schreiben von Programmen in einfachen Sprachen wie Assembler verwendet. Das hexadezimale Zahlensystem ist auch bei Programmierern beliebt, da seine Komponenten sehr einfach in Binärzahlen umgewandelt werden können, die für alle digitalen Technologien „nativ“ sind. Diese Symbole werden auch zur Beschreibung verwendet Farbschemata. Darüber hinaus werden absolut alle Dateien auf dem Computer (Text, Grafiken und sogar Musik oder Video) nach der Ausstrahlung als Sequenz dargestellt. Am bequemsten ist es, die Quelle in Form von Hexadezimalzeichen anzuzeigen.

Natürlich kann jede Zahl in verschiedenen Zahlensystemen geschrieben werden. Dies ist dezimal, binär und hexadezimal. Um ein Wort von einem in ein anderes zu übersetzen, sollten Sie einen Dienst wie einen Zahlensystemübersetzer nutzen oder es selbst mit einem bestimmten Algorithmus tun.

Tabelle 2.4. Hexadezimales Codierungssystem

Dezimalsystem	Hexadezimalsystem	Dezimalsystem	Hexadezimalsystem
0	0 (0000)	10	A (1010)
1	1(0001)	11	B (1011)
2	2 (0010)	12	C (1100)
3	3 (0011)	13	D (1101)
4	4 (0100)	14	E (1110)
5	5 (0101)	15	F(1111)
6	6 (0110)	16	10 (00010000)
7	7 (0111)	17	11 (00010001)
8	8 (1000)	18	12 (00010010)
9	9 (1001)	19	13 (00010011)

Um eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, müssen Sie den Wert der niedrigsten (Null) Ziffer mit eins, den Wert der nächsten (ersten) Ziffer mit 16, die zweite Ziffer mit 256 (16 2) usw. multiplizieren. , und fügen Sie dann alle Produkte hinzu. Nehmen Sie zum Beispiel die Nummer A17F:

A17F=F*16 0 + 7*16 1 + 1*16 2 + A*16 3 = 15*1 + 7*16+1*256+10*4096=41343

Tabelle 2.5. Oktalkodierungssystem

Dezimalsystem	Oktalsystem	Dezimalsystem	Oktalsystem
0	0 (000)	10	12 (001010)
1	1(001)	11	13 (001011)
2	2 (010)	12	14 (001100)
3	3 (011)	13	15 (001101)
4	4 (100)	14	16 (001110)
5	5 (101)	15	17 (001111)
6	6 (110)	16	20 (010000)
7	7 (111)	17	21 (010001)
8	10 (001000)	18	22 (010010)
9	11 (001001)	19	23 (010011)

Aber jeder Spezialist für digitale Geräte (Entwickler, Bediener, Mechaniker, Programmierer usw.) muss lernen, mit Hexadezimal- und Binärsystemen genauso frei umzugehen wie mit regulären Dezimalsystemen, sodass keine Übertragungen von System zu System erforderlich sind.

Wesentlich seltener als die hexadezimale Kodierung wird die oktale Kodierung verwendet, die auf dem gleichen Prinzip wie die hexadezimale Kodierung basiert, die Binärziffern jedoch in Dreiergruppen unterteilt sind. Jede Gruppe (Kennziffer) wird dann durch ein Symbol bezeichnet. Jedes Bit des Oktalcodes kann acht Werte annehmen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (Tabelle 2.5).

Neben den besprochenen Codes gibt es auch die sogenannte binär-dezimale Darstellung von Zahlen. Wie im Hexadezimalcode entspricht im BCD-Code jede Ziffer des Codes vier Binärziffern, jedoch kann jede Gruppe von vier Binärziffern nicht sechzehn, sondern nur zehn Werte annehmen, die durch die Zeichen 0, 1, 2, 3, 4 kodiert werden , 5, 6, 7, 8, 9. Das heißt, eine Dezimalstelle entspricht vier binären Einsen. Als Ergebnis stellt sich heraus, dass sich das Schreiben von Zahlen im binären Dezimalcode nicht vom Schreiben im gewöhnlichen Dezimalcode unterscheidet (Tabelle 2.6), aber in Wirklichkeit handelt es sich nur um einen speziellen Binärcode, bei dem jede Ziffer nur zwei Werte annehmen kann: 0 und 1. BCD ist manchmal sehr praktisch für die Organisation von Dezimalzahlen digitale Indikatoren und Anzeigetafel.

Tabelle 2.6. Binäres Dezimalkodierungssystem

Dezimalsystem	Binäres Dezimalsystem	Dezimalsystem	Binäres Dezimalsystem
0	0 (0000)	10	10 (00010000)
1	1(0001)	11	11 (00010001)
2	2 (0010)	12	12 (00010010)
3	3 (0011)	13	13 (00010011)
4	4 (0100)	14	14 (00010100)
5	5 (0101)	15	15 (00010101)
6	6 (0110)	16	16 (00010110)
7	7 (0111)	17	17 (00010111)
8	8 (1000)	18	18 (00011000)
9	9 (1001)	19	19 (00011001)

Im Binärcode können Sie beliebige arithmetische Operationen an Zahlen ausführen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.

Betrachten Sie beispielsweise die Addition zweier 4-Bit-Binärzahlen. Addieren wir die Zahlen 0111 (Dezimal 7) und 1011 (Dezimal 11). Das Addieren dieser Zahlen ist nicht schwieriger als in der Dezimalschreibweise:

Wenn wir 0 und 0 addieren, erhalten wir 0, wenn wir 1 und 0 addieren, erhalten wir 1, wenn wir 1 und 1 addieren, erhalten wir 0 und tragen zur nächsten Ziffer 1. Das Ergebnis ist 10010 (Dezimalzahl 18). Wenn zwei beliebige n-Bit-Binärzahlen addiert werden, kann das Ergebnis eine n-Bit- oder (n+1)-Bit-Zahl sein.

Die Subtraktion erfolgt auf die gleiche Weise. Subtrahieren Sie die Zahl 0111 (7) von der Zahl 10010 (18). Wir schreiben die Zahlen auf die niedrigstwertige Ziffer ausgerichtet und subtrahieren sie auf die gleiche Weise wie beim Dezimalsystem:

Wenn wir 0 von 0 subtrahieren, erhalten wir 0, wenn wir 0 von 1 subtrahieren, erhalten wir 1, wenn wir 1 von 1 subtrahieren, erhalten wir 0, wenn wir 1 von 0 subtrahieren, erhalten wir 1 und übernehmen 1 in die nächste Ziffer. Das Ergebnis ist 1011 (dezimal 11).

Beim Subtrahieren ist es möglich, negative Zahlen zu erhalten, daher müssen Sie verwenden binäre Darstellung negative Zahlen.

Um sowohl binäre positive als auch binäre negative Zahlen gleichzeitig darzustellen, werden die sogenannten zusätzlicher Code . Negative Zahlen in diesem Code werden durch eine Zahl ausgedrückt, die, wenn sie zu einer positiven Zahl desselben Werts addiert wird, Null ergibt. Um eine negative Zahl zu erhalten, müssen Sie alle Bits derselben positiven Zahl in die entgegengesetzten ändern (0 in 1, 1 in 0) und zum Ergebnis 1 addieren. Schreiben Sie beispielsweise die Zahl –5. Die Zahl 5 im Binärcode sieht aus wie 0101. Wir ersetzen die Bits durch die entgegengesetzten: 1010 und fügen eins hinzu: 1011. Wir summieren das Ergebnis mit der ursprünglichen Zahl: 1011 + 0101 = 0000 (wir ignorieren die Übertragung auf die fünfte Ziffer) .

Modulo 2 zwei Binärzahlen 0111 und 1011:

Andere bitweise Operationen an Binärzahlen umfassen die UND-Funktion und die ODER-Funktion. Die UND-Funktion ergibt nur dann eine Eins, wenn die entsprechenden Bits der beiden ursprünglichen Zahlen beide Einsen sind, andernfalls ist das Ergebnis -0. Die ODER-Funktion ergibt eins, wenn mindestens eines der entsprechenden Bits der ursprünglichen Zahlen 1 ist, andernfalls ist das Ergebnis 0.