Arithmetische Operationen in Zahlensystemen. Arithmetische Operationen in verschiedenen Zahlensystemen Operationen in verschiedenen Zahlensystemen

ZAHLENSYSTEME

Kurze Review. Grundbegriffe und Konzepte

Ein Zahlensystem ist eine Möglichkeit, eine beliebige Zahl mithilfe eines Alphabets von Symbolen darzustellen, die Ziffern genannt werden.

Es gibt viele Zahlensysteme, die in zwei Typen unterteilt werden können: nicht-positionelle und positionelle.

Nicht-Positionssystem. Ein Beispiel ist das römische Zahlensystem. Darin ist die Bedeutung jedes Symbols konstant, unabhängig davon, wo sich das Symbol in der Zahl befindet.

I, IX, XXI, LXI, XLII – das Symbol „I“ in allen angegebenen Zahlen kodiert die Ziffer Eins.

Positionssysteme. Ein Beispiel ist das arabische System. Im Positionssystem hängt die Bedeutung jeder Ziffer (Symbol) von der Stelle in der Zahl ab, an der diese Ziffer (Symbol) geschrieben wird. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels aus dem von uns übernommenen Dezimalsystem überprüfen, indem wir identische Zahlentransformationen durchführen.

5555=5000+500+50+5. Die Zahl 5 steht also für 5000, 500, 50 und 5.

Das Dezimalsystem verwendet 10 Ziffern (Symbole), um Zahlen zu schreiben: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Die Anzahl der im System verwendeten Ziffern (Symbole) wird daher als Basis bezeichnet , in unserem System Die Basis ist 10, weshalb es Dezimalzahl genannt wird. Führen wir die Dezimalkonvertierung noch einmal durch

5685=5*1000+6*100+8*10+5=5*10 3 +6*10 2 +8*10 1 +5*10 0

Wir sehen, dass die Zahl mit Begriffen geschrieben werden kann, in denen die Basis des Systems vorhanden ist. Es wird von rechts nach links auf eine Potenz kleiner als die Reihenfolge der Ziffer in der Zahl erhöht.

Neben dem Dezimalsystem gibt es noch einige andere Zahlensysteme. Beispielsweise wurde in Russland bis 1917 die 12-stellige Zahl verwendet. Die Ausdrücke „Dutzend“ und „Teufelsdutzend“ sind noch erhalten. Es wird immer noch in den Währungen einiger Länder verwendet. Auf der Uhr stehen 12 Zahlen. 12 Monate im Jahr usw.

Die Fähigkeit, unterschiedliche Zahlensysteme zu verwenden, basiert auf der Tatsache, dass viele verschiedene Symbole auf ein Speichermedium (Papier, Papyrus) geschrieben und mit einer bestimmten Bedeutung versehen werden können.

Methoden zum Aufzeichnen von Informationen in Computertechnologie

Auf Speichermedien im Zusammenhang mit Computerausrüstung Derzeit gibt es keine umfassenden Möglichkeiten zur Informationserfassung. Um Informationen in der Computertechnik aufzuzeichnen, werden zwei stabile Zustände verschiedener Geräte verwendet.

Auf einer Diskette oder Festplatte, die man sich als einen Satz elementarer Magnete vorstellen kann, können diese Magnete mit dem Nord- oder Südpol zum Untergrund gedreht werden. Ein Punkt auf einer Scheibe kann Licht reflektieren oder auch nicht. Eine Karte aus dickem Papier kann an einer bestimmten Stelle ein Loch haben oder auch nicht. Ein Stromkreis kann Strom leiten oder auch nicht. Das Licht kann an sein oder auch nicht. Einem solchen Zustand kann der Wert 1 zugewiesen werden, dem zweiten der Wert 0. Somit kann entweder 0 oder 1 auf ein Speicherelement geschrieben werden.

Diese Mindestmenge an Informationen, die auf solchen Medien aufgezeichnet werden kann, wird als bezeichnet bisschen.

Historisch gesehen wurden 8 Speichermedien in einer Speicherzelle zusammengefasst und die darin aufgezeichnete Informationsmenge aufgerufen Byte. Auf diese Weise 1 Byte = 8 Bit.
In ein Byte kann man 2 8 = 256 verschiedene Kombinationen von Binärzahlen schreiben, also Zahlen, die nur aus zwei Ziffern 0 und 1 bestehen: 00000000, 00000001, 00000010, 00000011. . . 11111110, 11111111.

Wenn Sie sich mehrere Speicherzellen ansehen, werden diese viele Nullen und Einsen enthalten. Speicherzellenadressen werden auch binär dargestellt. Um es einer Person zu erleichtern, mit dieser Art von Informationen zu arbeiten, haben wir uns entschieden, nach den Regeln des 2. Zahlensystems damit zu arbeiten. Die Zahlen dieses Systems können in andere, für den Menschen vertrautere und visuellere Systeme umgewandelt werden: 8-stellig, 16-stellig, 10-stellig.

Tabelle 1.1.2

Dezimalsystem	Binäres System	Oktalsystem	Hexadezimalsystem










			A
			B
			C
			D
			E
			F

Tabelle 1.1.2 zeigt, welche Symbole in verschiedenen Systemen als Zahlen verwendet werden. Wenn das letzte gültige Zeichen verwendet wird, wird 0 in die niedrigstwertige Ziffer geschrieben und 1 in die höchstwertige.

Arithmetische Operationen in Zahlensystemen

Die Regeln zur Durchführung arithmetischer Operationen im dezimalen Zahlensystem bleiben auch für andere Positionszahlensysteme erhalten.

Zusatz

Wir addieren zuerst die Einer, dann die Zehner usw. bis wir den höchsten Rang erreichen. Gleichzeitig denken wir immer daran, dass wir, wenn wir bei der Addition von Zahlen in einer beliebigen Ziffer eine Summe erhalten, die größer als die Basis ist, diese auf die nächste Ziffer übertragen müssen.

Zum Beispiel 173, 261 8

16, 35 8

Oktal s.s.

Neben dem Dezimalsystem gibt es unzählige weitere Systeme, von denen einige zur Darstellung und Verarbeitung von Informationen in einem Computer verwendet werden. Es gibt zwei Arten von Zahlensystemen: Positions- und Nicht-Positionssysteme.

Nichtpositionale Systeme sind Systeme, in denen jede Ziffer unabhängig von ihrer Position in der Zahl ihre Bedeutung behält. Ein Beispiel ist das römische Zahlensystem, das Zahlen wie I, V, X, L, C, D, M usw. verwendet.

Positionsbezogen sind Zahlensysteme, in denen die Bedeutung jeder Ziffer angegeben ist hängt von seinem Standort ab. Das Positionssystem wird durch die Grundlage der Infinitesimalrechnung charakterisiert, die als Zahl £ verstanden wird, die angibt, wie viele Einheiten einer beliebigen Ziffer erforderlich sind, um eine Einheit höherer Ordnung zu erhalten.

Sie können zum Beispiel schreiben

Was den Zahlen im dezimalen Zahlensystem entspricht

Der folgende Index gibt die Zahlenbasis an.

Um positive Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umzuwandeln, sind zwei Regeln bekannt:

Übersetzung von Zahlen aus dem System , in das System ;

Übersetzung von Zahlen aus dem System , in das System unter Verwendung der Systemarithmetik ;

Betrachten wir die erste Regel . Nehmen wir an, die Zahl steht im Dezimalsystem muss binär dargestellt werden . Dazu wird diese Zahl durch die Basis des Systems dividiert im System dargestellt , d.h. um 2 10. Der Rest der Division ist die niedrigstwertige Ziffer der Binärzahl. Der ganzzahlige Teil des Ergebnisses der Division wird erneut durch 2 dividiert. Wiederholen Sie die Division so oft wie möglich, bis der Quotient kleiner als zwei ist.

Beispiel: Konvertieren Sie 89 10 mithilfe der Dezimalarithmetik in eine Binärzahl

89 10 → 1011001 2

Die umgekehrte Übersetzung lautet nach derselben Regel wie folgt:

Konvertieren Sie 1011001 2 mithilfe der Binärzahlensystemarithmetik in eine Dezimalzahl

Die Binärzahlen 1000 und 1001 gemäß Tabelle 2.1 sind jeweils gleich 8 und 9. Daher ist 1011001 2 → 89 10

Manchmal ist es bequemer, die Rückübersetzung anhand der allgemeinen Regel zur Darstellung einer Zahl in einem Zahlensystem durchzuführen.

Schauen wir uns die zweite Regel an. Übersetzung von Zahlen aus dem System , in das System unter Verwendung der Systemarithmetik . Für eine Überweisung benötigen Sie jede Ziffer der Nummer im System mit Zahlensystembasis multiplizieren im Zahlensystem dargestellt und im Grad der Position dieser Zahl. Anschließend werden die resultierenden Produkte zusammengefasst.

Arithmetische und logische Operationen

Rechenoperationen

Betrachten wir die Arithmetik des binären Zahlensystems, da dieses System aus folgenden Gründen in modernen Computern verwendet wird:

Es gibt die einfachsten physikalischen Elemente, die nur zwei Zustände haben und als 0 und 1 interpretiert werden können;

Die arithmetische Verarbeitung ist sehr einfach.

Oktal- und Hexadezimalzahlen werden üblicherweise als Ersatz für die lange und daher umständliche Darstellung von Binärzahlen verwendet.

Die Operationen der Addition, Subtraktion und Multiplikation im Binärsystem sind:

Um, wie bereits gezeigt, nur mit einem Addierer auszukommen, also nur Additionsoperationen durchzuführen, wird die Subtraktionsoperation durch eine Addition ersetzt. Dazu wird der Code für eine negative Zahl als Komplement der Zahlen 2, 10, 100 usw. gebildet.

Addition und Subtraktion werden effektiv im ursprünglichen Zahlensystem durchgeführt. Die Methode, jede Zahl in das 10er-Dezimalsystem umzuwandeln, darin eine Operation durchzuführen und sie dann wieder zurück umzuwandeln, ist deutlich zeitaufwändiger und führt oft zu Fehlern.

Beim Addieren von Zahlen in einem beliebigen Positionszahlensystem mit Basis R In jeder Ziffer wird die Addition der Ziffern der Begriffe und der von der benachbarten Ziffer niedriger Ordnung übertragenen Ziffer, falls vorhanden, durchgeführt. Es ist zu berücksichtigen, dass beim Addieren von Zahlen das Ergebnis eine Zahl größer oder gleich ist R, dann stellen wir es in der Form dar p*k + b, wobei kО N – Anzahl der Übertragseinheiten zur nächsten Ziffer 0 ≤ b ≤ p - 1

Beim Addieren und Subtrahieren von Binärzahlen reicht es aus, die Regeln zum Addieren von Binärziffern zu kennen (die Additionstabelle des Binärsystems):

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10

+ 1101 2

1 +1 = 2 = 1

0 +0 + 1 = 1

1 + 1 = 2 = 1 *2 + 0 („1“ wird zur höchstwertigen Ziffer verschoben)

1 + 0 + 1 = 2 = 1 *2 + 0 („1“ wird zur höchstwertigen Ziffer verschoben)

5 +6 = 11 = 1 *8 + 3 („1“ wird zur höchstwertigen Ziffer verschoben)

4 +1 + 1 = 6

6 + 3 = 9 = 1 *8 + 1 („1“ wird zur höchstwertigen Ziffer verschoben)

7 + 0 + 1 = 8 = 1 *8 + 0 („1“ wird zur höchstwertigen Ziffer verschoben)

+E836 16

10 +6 = 16 = 1 *16 + 0 („1“ wird zur höchstwertigen Ziffer verschoben)

15 +3 + 1 = 19 = 1 *16 + 3 („1“ wird zur höchstwertigen Ziffer verschoben)

9 + 8 + 1 = 18 = 1 *16 + 2 („1“ wird zur höchstwertigen Ziffer verschoben)

0 + 14 + 1 = 15 = F

Beim Subtrahieren von Zahlen V R Zahlen werden Stück für Stück subtrahiert. Wenn bei der betreffenden Ziffer eine größere Zahl von einer kleineren Zahl subtrahiert werden muss, wird bei der nächsten (höchsten) Ziffer eins genommen. Die belegte Einheit ist R Einheiten dieser Ziffer (in ähnlicher Weise ist die belegte Einheit gleich 10, wenn wir eine Einheit im dezimalen Zahlensystem belegen.) Für das binäre Zahlensystem ist die belegte Einheit = 2 10 = 10 2, für das oktale Zahlensystem die Einheit besetzt = 8 10 = 10 8, für Hexadezimalsystem Notationseinheit besetzt = 16 10 = 10 16 .

Beispiele: Die Punkte in den Subtraktionsbeispielen geben die Ränge an, von denen entlehnt werden musste.

2 – 1 = 1 (seit 0< 1 пришлось занять из соседнего разряда)

In dieser Ziffer war noch 0 übrig, also mussten wir sie wieder von der höchsten Ziffer nehmen: 2 – 1 = 1

In dieser Kategorie sind noch 0 übrig

8 + 5 – 6 = 7 (seit 5< 6 пришлось занять из соседнего разряда)

8 + 0 – 4 = 4 (nach der Ausleihe blieb 0 in dieser Ziffer)

16 + 6 – 10 = 12 = C 16 (aus einer angrenzenden Kategorie entnommen)

16 + 2 – 15 = 3 (Es sind noch 2 in diesem Rang übrig, übernommen vom benachbarten Rang)

16 + 7 – 9 = 14 = E 16

D 16 bleibt in dieser Kategorie

Beim Subtrahieren ist es manchmal notwendig, eine Einheit durch mehrere Ziffern zu belegen, da die benachbarten oder mehrere benachbarte Ziffern in einer Reihe Nullen enthalten. Dabei ist zu beachten, dass in diesen Ziffern nach der Besetzung anstelle der Nullen die „letzte Ziffer“ des Zahlensystems steht, in dem der Minuend geschrieben wird, d.h. Die Zahl 1 steht für Binärzahl, die Zahl 7 für Oktalzahl und die Zahl F für Hexadezimalzahl.

· 1 1 2 · 7 7 8 · F F 16

1000 2 1000 8 1000 16

11 2 11 8 ANZEIGE 16

101 2 767 8 F53 16

Kommentar. Bei der Durchführung arithmetischer Operationen mit Zahlen, die in unterschiedlichen Zahlensystemen vorliegen, ist es erforderlich, die Zahlen in dasselbe System umzuwandeln und erst dann die Aktion auszuführen. Natürlich kann man als solches Zahlensystem auch das Dezimalsystem wählen, bei vielen Ziffern in den Zahlen ist eine solche Übersetzung jedoch arbeitsintensiv. Wenn Sie beispielsweise die Zahl 123456789ABCDEF 16 in das Dezimalsystem umrechnen, müssen Sie 16 in Potenzen bis zum Vierzehnten berechnen.

Die Multiplikation im Positionszahlensystem ist eine ziemlich komplexe Operation, daher ist es zuverlässiger, die Multiplikation im 10-stelligen System mit vorläufiger und endgültiger Übertragung in das ursprüngliche System durchzuführen. Die Multiplikation mit 2 kann jedoch als Summe dargestellt werden. Beispiel: 2*T, wobei T = 315 8

2 * 315 8 = 315 8

Bei der Multiplikation mit 7 10, 8 10, 9 10 können Sie die Umrechnung in das Dezimalsystem nutzen. Da aber die Dezimalzahl 8 gleich der Oktalzahl 10 ist (8 · 10 = 10 · 8), kann die Multiplikation durch eine Multiplikation mit zehn gefolgt von einer Subtraktion oder Addition ersetzt werden.

1) 8 10 * 6271 8 = 10 8 * 6271 8 = 62710 8

2) 7 10 * 6271 8 = (8 10 – 1 10) * 6271 8 = (10 8 – 1 8) * 6271 8 =

3) 9 10 * 6271 8 = (8 10 + 1 10) * 6271 8 = (10 8 + 1 8) * 6271 8 =

Kommentar. Wird der zweite Faktor binär oder hexadezimal dargestellt, muss er zunächst in das oktale Zahlensystem umgerechnet werden, zum Beispiel: 7 10 * A3C5 16.

Konvertieren Sie zuerst A3C5 16 mit der Tetraden- und Triadenmethode in Oktalzahlen und führen Sie dann die Multiplikation durch.

А3С5 16 = 1010 0011 1100 0101 2 = 001 010 001 111 000 101 2 = 121705 8.

7 10 * 121705 8 = (8 10 – 1 10) * 121705 8 = (10 8 – 1 8) * 121705 8 =

121705 8

Bei der Multiplikation mit 15 · 10, 16 · 10, 17 · 10 können Sie die Tatsache nutzen, dass die Dezimalzahl 16 gleich der Hexadezimalzahl 10 ist (16 · 10 = 10 · 16). In diesem Fall kann wie im vorherigen Fall die Multiplikation durch eine Multiplikation mit zehn gefolgt von einer Subtraktion oder Addition ersetzt werden.

1) 16 10 * A6D5 16 = 10 16 * A6D5 16 = A6D50 16

2) 15 10 * A6D5 16 = (16 10 – 1 10) * A6D5 16 = (10 16 – 1 16) * A6D5 16 =

3) 17 10 * A6D5 16 = (16 10 + 1 10) * A6D5 16 = (10 16 + 1 16) * A6D5 16 =

Kommentar. Wenn der zweite Faktor binär oder oktal dargestellt wird, muss er zunächst in Hexadezimal umgewandelt werden, zum Beispiel: 17 10 * 7154 8.

Konvertieren Sie zunächst 7154 8 mit der Tetraden- und Triadenmethode in Hexadezimalzahl und führen Sie dann die Multiplikation durch.

7154 8 = 111 001 101 100 2 = 1110 0110 1100 2 = E6C 16.

17 10 * E6C 16 = (16 10 + 1 10) * E6C 16 = (10 16 + 1 16) * E6C 16 =

Wird zum Arbeiten mit Daten verwendet Codierung, d.h. Ausdrücken von Daten eines Typs durch Daten eines anderen Typs.

Auch die Computertechnik hat ihr eigenes System – es heißt binäre Kodierung und basiert auf der Darstellung von Daten als Folge von nur zwei Zeichen: 0 und 1. Diese Zeichen werden aufgerufen Binär-Zahlen, auf Englisch - Binärzahl oder kurz: Bit (Bit).

Ein Bit kann zwei Konzepte ausdrücken: 0 oder 1 (Ja oder nein, schwarz oder weiß, stimmt oder Lüge usw.). Wenn die Anzahl der Bits auf zwei erhöht wird, können vier verschiedene Konzepte ausgedrückt werden:

Drei Bits können acht verschiedene Werte kodieren: 000 001 010 011 100 101 110 111

Indem wir die Anzahl der Bits im binären Kodierungssystem um eins erhöhen, verdoppeln wir die Anzahl der Werte, die in diesem System ausgedrückt werden können, das heißt, die allgemeine Formel sieht so aus:

N=2 m , Wo:

N- Anzahl unabhängiger codierter Werte;

T- Bittiefe der in diesem System verwendeten Binärcodierung.

Da ein Bit eine so kleine Maßeinheit ist, wird in der Praxis häufiger eine größere Einheit verwendet – ein Byte, gleich acht Bits.

Es werden auch größere abgeleitete Dateneinheiten verwendet:

Kilobyte (KB) = 1024 Byte = 2 10 Byte;

Megabyte (MB) = 1024 KB = 2 20 Bytes;

Gigabyte (GB) = 1024 MB = 2 30 Bytes.

IN In letzter Zeit Aufgrund der Zunahme des verarbeiteten Datenvolumens kommen folgende abgeleitete Einheiten zum Einsatz:

Terabyte (TB) = 1024 GB = 2 40 Byte;

Petabyte (PB) = 1024 TB = 2 50 Bytes;

Exabyte (Ebyte) = 1024 PB = 2 60 Bytes.

Kodierung von Textinformationen wird unter Verwendung des American Standard Code for Information Interchange ASCII erstellt, der Zeichencodes von 0 bis 127 festlegt. Nationale Standards weisen 1 Byte an Informationen pro Zeichen zu und enthalten eine Tabelle mit ASCII-Codes sowie nationale Alphabetcodes mit Zahlen von 128 bis 255 . Derzeit gibt es fünf verschiedene kyrillische Kodierungen: KOI-8, MS-DOS, Windows, Macintosh und ISO. Ende der 90er Jahre ein neues internationaler Standard Unicode, der jedem Zeichen nicht ein Byte, sondern zwei Bytes zuweist und daher mit seiner Hilfe nicht nur verschiedene Zeichen kodieren kann.

Grundlegende Kodierungstabelle ASCII ist in der Tabelle angegeben.

Farbcodierung grafische Bilder erfolgt mithilfe eines Rasters, wobei jedem Punkt seine Farbnummer zugeordnet ist. Im RGB-Kodierungssystem wird die Farbe jedes Punkts durch die Summe von Rot (Rot), Grün (Grün) und Blau (Blau) dargestellt. Im CMYK-Kodierungssystem wird die Farbe jedes Punktes durch die Summe von Cyan (Cyan), Magenta (Magenta), Gelb (Yellow) und der Hinzufügung von Schwarz (Black, K) dargestellt.

Analoge Signalkodierung

Historisch gesehen war die erste technische Form des Empfangens, Übertragens und Speicherns von Daten die analoge (kontinuierliche) Darstellung eines akustischen, optischen, elektrischen oder anderen Signals. Um solche Signale zu empfangen, führt der Computer zunächst eine Analog-Digital-Wandlung durch.

Bei der Analog-Digital-Umwandlung geht es um das Messen Analogsignal in regelmäßigen Abständen τ und Codierung des Messergebnisses mit einem n-Bit-Binärwort. In diesem Fall wird eine Folge von n-Bit-Binärwörtern erhalten, die ein analoges Signal mit einer bestimmten Genauigkeit darstellen.

Der aktuelle CD-Standard verwendet sogenanntes „16-Bit-Audio mit einer Abtastrate von 44 kHz“. Für die obige Abbildung bedeutet dies, in die normale Sprache übersetzt, dass die „Schrittlänge“ (t) gleich 1/44.000 s ist und die „Schritthöhe“ (δ) 1/65.536 der maximalen Signallautstärke beträgt (seit 2 16 = 65.536) . In diesem Fall beträgt der Frequenzbereich der Wiedergabe 0-22 kHz und der Dynamikbereich 96 Dezibel (ein Qualitätsmerkmal, das für magnetische oder mechanische Tonaufzeichnung völlig unerreichbar ist).

Datenkompression.

Die Menge der verarbeiteten und übermittelten Daten wächst rasant. Dies ist auf die Umsetzung immer komplexerer Bewerbungsprozesse, das Aufkommen neuer Informationsdienste sowie den Einsatz von Bild und Ton zurückzuführen.

Datenkompression- ein Prozess, der das Datenvolumen reduziert. Durch die Komprimierung können Sie die zum Speichern von Daten erforderliche Speichermenge drastisch reduzieren und die für die Übertragung benötigte Zeit (auf eine akzeptable Größe) verkürzen. Besonders effektiv ist die Bildkomprimierung. Die Datenkomprimierung kann entweder mit Software oder Hardware oder einer Kombination dieser Methoden durchgeführt werden.

Die Komprimierung von Texten geht mit einem kompakteren Layout einher Bytes, Kodierung von Zeichen. Dabei wird auch ein Leerzeichenwiederholungszähler verwendet. Bei Ton und Bild hängt die Menge der sie darstellenden Informationen vom gewählten Quantisierungsschritt und der Anzahl der Bits der Analog-Digital-Umwandlung ab. Dabei kommen grundsätzlich die gleichen Komprimierungsverfahren zum Einsatz wie bei der Textverarbeitung. Wenn die Textkomprimierung ohne Informationsverlust erfolgt, führt die Audio- und Bildkomprimierung fast immer zu einem gewissen Informationsverlust. Komprimierung wird häufig in der Datenarchivierung eingesetzt.

Notation– Darstellung einer Zahl durch einen bestimmten Satz von Symbolen. Zahlensysteme sind:

1. Single (Tag- oder Stick-System);

2. Nicht-positional (römisch);

3. Position (dezimal, binär, oktal, hexadezimal usw.).

Positionsbezogen ist ein Zahlensystem, bei dem der quantitative Wert jeder Ziffer von ihrer Stelle (Position) in der Zahl abhängt. Die Basis Ein Positionszahlensystem ist eine ganze Zahl, die potenziert werden kann und gleich der Anzahl der Ziffern im System ist.

Das binäre Zahlensystem umfasst ein Alphabet mit zwei Ziffern: 0 und 1.

Das Oktalzahlensystem umfasst ein Alphabet mit 8 Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7.

Das Dezimalzahlensystem umfasst ein Alphabet mit 10 Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9.

Das hexadezimale Zahlensystem umfasst ein Alphabet mit 16 Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.


			A B C D E F

In der Computertechnik wird die Codierung im binären Zahlensystem verwendet, also Folge von 0 und 1.

Um eine ganze Zahl von einem Zahlensystem in ein anderes umzuwandeln, müssen Sie den folgenden Algorithmus ausführen:

1. Drücken Sie die Basis des neuen Zahlensystems mit den Zahlen des ursprünglichen Zahlensystems aus.

2. Teilen Sie die gegebene Zahl konsequent durch die Basis des neuen Zahlensystems, bis Sie einen Quotienten erhalten, der kleiner als der Teiler ist.

3. Konvertieren Sie die resultierenden Salden in das neue Zahlensystem.

4. Bilden Sie aus den Resten eine Zahl neues System Berechnung ausgehend vom letzten Rest.

Im Allgemeinen kann in einer Positions-SS mit Basis P jede Zahl X als Polynom zur Basis P dargestellt werden:

Х = а n Р n + a n-1 P n-1 + … + a 1 P 1 + a o P 0 + a -1 P -1 + a -2 P -2 + …+ a -m P -m ,

wobei die Koeffizienten a i beliebige der P Ziffern sein können, die in SS mit der Basis P verwendet werden.

Es wird eine Konvertierung von Zahlen von 10 SS in alle anderen für ganzzahlige und gebrochene Teile der Zahl durchgeführt verschiedene Methoden:

a) Der gesamte Teil der Zahl und die Zwischenquotienten werden durch die Basis der neuen SS dividiert, ausgedrückt in 10 SS, bis der Quotient der Division kleiner als die Basis der neuen SS wird. Aktionen werden in 10 SS ausgeführt. Das Ergebnis sind die Quotienten, in umgekehrter Reihenfolge geschrieben.

b) Der Bruchteil der Zahl und die resultierenden Bruchteile der Zwischenprodukte werden mit der Basis des neuen SS multipliziert, bis die angegebene Genauigkeit erreicht ist oder „0“ im Bruchteil des Zwischenprodukts erhalten wird. Das Ergebnis sind ganze Teile von Zwischenwerken, erfasst in der Reihenfolge ihres Eingangs.

Mit der Formel (1) können Sie Zahlen aus jedem beliebigen Zahlensystem in das dezimale Zahlensystem umrechnen.

Beispiel 1. Wandeln Sie die Zahl 1011101,001 vom Binärzahlensystem (SS) in das Dezimalzahlensystem SS um. Lösung:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Beispiel 2. Wandeln Sie die Zahl 1011101,001 vom Oktalzahlensystem (SS) in das Dezimalzahlensystem SS um. Lösung:

Beispiel 3. Konvertieren Sie die Zahl AB572.CDF vom hexadezimalen Zahlensystem in das dezimale SS. Lösung:

Hier A-ersetzt durch 10, B- um 11, C- um 12, F- bis 15.

Konvertieren einer 8 (16)-Zahl in die 2-Form – es reicht aus, jede Ziffer dieser Zahl durch die entsprechende 3-Bit-(4-Bit-)Binärzahl zu ersetzen. Verwerfen Sie unnötige Nullen in den hohen und niedrigen Ziffern.

Beispiel 1: Konvertieren Sie die Zahl 305,4 8 in die binäre SS.

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

Beispiel 2: Wandeln Sie die Zahl 9AF,7 16 in die Binärzahl СС um.

(_9 __ _A __ _F __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

Um die 2. Zahl in 8 (16) SS umzuwandeln, gehen Sie wie folgt vor: Bewegen Sie sich vom Dezimalpunkt nach links und rechts, teilen Sie die Binärzahl in Gruppen von 3 (4) Ziffern auf und ergänzen Sie die Gruppen ganz links und ganz rechts bei Bedarf durch Nullen. Jede Gruppe wird dann durch die entsprechende Oktalziffer (16) ersetzt.

Beispiel 1: Konvertieren Sie die Zahl 110100011110100111,1001101 2 in oktale SS.

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

Beispiel 2: Konvertieren Sie die Zahl 110100011110100111.1001101 2 in hexadezimale SS.

0011 0100 0111 1010 0111.1001 1010 2 = 347A7,9A 16

Rechenoperationen In allen Positionszahlensystemen werden Zahlen nach denselben Regeln ausgeführt, die Ihnen wohlbekannt sind.

Zusatz. Betrachten wir das Addieren von Zahlen im binären Zahlensystem. Es basiert auf einer Tabelle zum Addieren einstelliger Binärzahlen:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Es ist wichtig zu beachten, dass beim Addieren von zwei Einsen die Ziffer überläuft und auf die höchstwertige Ziffer übertragen wird. Ein Ziffernüberlauf tritt auf, wenn der Wert der darin enthaltenen Zahl gleich oder größer als die Basis wird.

Die Addition mehrbitiger Binärzahlen erfolgt gemäß obiger Additionstabelle unter Berücksichtigung möglicher Übertragungen von niederwertigen auf höherwertige Ziffern. Als Beispiel fügen wir die Binärzahlen 110 2 und 11 2 in eine Spalte ein:

Subtraktion. Schauen wir uns das Subtrahieren von Binärzahlen an. Es basiert auf einer Tabelle zum Subtrahieren einstelliger Binärzahlen. Beim Subtrahieren einer größeren Zahl (1) von einer kleineren Zahl (0) erfolgt ein Kredit von der höchsten Ziffer. In der Tabelle ist das Darlehen mit 1 mit einer Zeile gekennzeichnet:

Multiplikation. Die Multiplikation basiert auf der Multiplikationstabelle für einstellige Binärzahlen:

Aufteilung. Die Divisionsoperation wird unter Verwendung eines Algorithmus durchgeführt, der dem Algorithmus zur Durchführung der Divisionsoperation im Dezimalzahlensystem ähnelt. Teilen wir als Beispiel die Binärzahl 110 2 durch 11 2:

Um arithmetische Operationen mit Zahlen durchzuführen, die in verschiedenen Zahlensystemen ausgedrückt werden, ist es notwendig, diese zunächst in dasselbe System umzuwandeln.

Arithmetische Operationen in Positionszahlensystemen

Arithmetische Operationen in allen Positionszahlensystemen werden nach denselben Regeln ausgeführt, die Ihnen wohlbekannt sind.

Zusatz. Betrachten wir das Addieren von Zahlen im binären Zahlensystem. Es basiert auf einer Tabelle zum Addieren einstelliger Binärzahlen:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Überprüfen wir die Richtigkeit der Berechnungen, indem wir das dezimale Zahlensystem hinzufügen. Lassen Sie uns Binärzahlen in das dezimale Zahlensystem umwandeln und dann addieren:

110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10 ;

11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10 ;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Nun wandeln wir das Ergebnis der binären Addition in eine Dezimalzahl um:

1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10.

Vergleichen wir die Ergebnisse – die Addition wurde korrekt durchgeführt.

Multiplikation. Die Multiplikation basiert auf der Multiplikationstabelle für einstellige Binärzahlen:

Um arithmetische Operationen mit Zahlen durchzuführen, die in verschiedenen Zahlensystemen ausgedrückt werden, ist es notwendig, diese zunächst in dasselbe System umzuwandeln.

Aufgaben

1.22. Addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren Sie die Binärzahlen 1010 2 und 10 2 und überprüfen Sie die Richtigkeit arithmetischer Operationen mit einem elektronischen Taschenrechner.

1.23. Oktalzahlen hinzufügen: 5 8 und 4 8, 17 8 und 41 8.

1.24. Hexadezimale Zahlen subtrahieren: F 16 und A 16, 41 16 und 17 16.

1,25. Addiere die Zahlen: 17 8 und 17 16, 41 8 und 41 16